高考卷 08 普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）（附答案，完全word版） 10页

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 本试卷分第 I卷（填空题）和第 II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在 本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用 2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选 择题答案使用 0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂 黑． 参考公式： 样本数据 1x ， 2x ，， nx 的标准差 锥体体积公式 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x x n        1 3 V Sh 其中 x为样本平均数 其中 S为底面面积、 h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V Sh 24πS R ， 34 π 3 V R 其中 S为底面面积， h为高 其中 R为球的半径 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分． 1． ) 6 cos()(   xxf 最小正周期为 5  ，其中 0 ，则  ▲ 2．一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 ▲ 3． ),( 1 1 Rbabia i i    表示为 的形式，则 ba  = ▲ 4．  73)1( 2  xxxA ，则集合 A Z 中有 ▲ 个元素 5． ba , 的夹角为 120 ， 1, 3a b    ，则 5a b    ▲ 6．在平面直角坐标系 xoy中，设D是横坐标与纵坐标的 绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E是到原点的距离 不大于 1 的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入 E 中的概率 ▲ 7．某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间（单位： h），现随机地选择 50 位老人做调查，下表是 50 位老人 日睡眠时间频率分布表： 序号 分组 组中值 频数 频率 开始 S0 输入 Gi，Fi i1 S S＋Gi·Fi i≥5 i i＋1 N Y 输出 S 结束 （i） 睡眠时间 （Gi） （人数） （Fi） 1 [4，5） 4.5 6 0.12 2 [5，6） 5.5 10 0.20 3 [6，7） 6.5 20 0.40 4 [7，8） 7.5 10 0.20 5 [8，9] 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值为 ． 8．直线 bxy  2 1 是曲线 ln ( 0)y x x  的一条切线，则实数 b的值为 ▲ 9．在平面直角坐标系中，设三角形 ABC的顶点分别为 )0,(),0,(),,0( cCbBaA ，点 P（0，p）在 线段 AO 上（异于端点），设 pcba ,,, 均为非零实数，直线 CPBP, 分别交 ABAC, 于点 FE, ，一 同 学 已 正 确 算 的 OE 的 方 程 ： 01111              y ap x cb ， 请 你 求 OF 的 方 程 ： ( ▲ ) 011        y ap x 10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律，第 n行（ 3n ）从左向右的第 3 个数为 ▲ 11． 2 *, , , 2 3 0, yx y z R x y z xz     的最小值为 ▲ 12．在平面直角坐标系中，椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的焦距为 2，以 O 为圆心， a为半径的 圆，过点       0, 2 c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率 e = ▲ 13．若 BCACAB 2,2  ，则 ABCS 的最大值 ▲ 14． 13)( 3  xaxxf 对于  1,1x 总有 0)( xf 成立，则 a = ▲ 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（14 分）如图，在平面直角坐标系 xoy中，以 ox轴为始边做两个锐角  , ，它们的终边分别 与单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 5 52, 10 2 （1）求 )tan(   的值； （2）求  2 的值。 16．（14 分）在四面体 ABCD中， BDADCDCB  , ，且 E、F 分别是 AB、BD 的中点， 求证：（1）直线 EF//面 ACD （2）面 EFC⊥面 BCD 17．（14 分）某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km， BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且 A、B 与等距 离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP，设排污管道的总长为 ykm。 （1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad)，将 y表示成θ的函数关系式； ②设 OP=x(km)，将 y表示成 x的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。 B C A F D E B CD A O P x y O A B 18．（16 分）设平面直角坐标系 xoy中，设二次函数 2( ) 2 ( )f x x x b x R    的图像与两坐标轴 有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C。求： （1）求实数 b的取值范围 （2）求圆 C 的方程 （3）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b无关）？请证明你的结论。 19．（16 分）（1）设 naaa ,......, 21 是各项均不为零的等差数列（ 4n ），且公差 0d ，若将此数 列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当 4n 时，求 d a1 的数值；②求n的所有可能值； （2）求证：对于一个给定的正整数 )4( nn ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 nbbb ,......, 21 ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。 20. （16 分） 若 1 2 1 2( ) 3 , ( ) 2 3x p x pf x f x    ， x R ， 1 2,p p 为常数，且       )()(),( )()(),( )( 212 211 xfxfxf xfxfxf xf （1）求 )()( 1 xfxf  对所有实数 x成立的充要条件（用 21, pp 表示） （2）设 ba, 为两实数， ba  且 ),(, 21 bapp  若 )()( bfaf  求证： )(xf 在区间  ba, 上的单调增区间的长度和为 2 ab  （闭区间  nm, 的长度定义为 mn  ） 卷 2 21．（选做题）从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分． A．选修 4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC的外接圆的切线 AE与 BC的延长线交于点 E，∠BAC的平分线与 BC交于点 D．求 证： 2ED EB EC  ． B．选修 4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy中，设椭圆 2 24 1x y  在矩阵 A= 2 0 0 1 对应的变换作用下得到曲线 F， 求 F的方程． C．选修 4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系 xOy中，点 ( )P x y， 是椭圆 2 2 1 3 x y  上的一个动点，求 S x y  的最大值． D．选修 4—5 不等式证明选讲 设 a，b，c为正实数，求证： 3 3 3 1 1 1 2 3abc a b c   + ≥ ． 必做题 22．记动点 P是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1-ABCD ABC D 的对角线 1BD 上一点，记 1 1 D P D B  ．当 APC 为钝角时，求的取值范围． B C ED A 23．请先阅读：在等式 2cos 2 2cos 1x x  （ xR）的两边求导，得： 2( cos 2 ) (2cos 1) x x   ， 由求导法则，得 ( sin 2 ) 2 4cos ( sin ) x x x    ，化简得等式： sin 2 2cos sinx x x  ． （1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝ 0 1 2 2C C C C n n n n n nx x x    （ xR， 正整数 2n≥ ），证明： 1[(1 ) 1]nn x   ＝ 1 1 C n k k n k k x    ． （2）对于正整数 3n≥ ，求证： （i） 1 ( 1) C n k k n k k   ＝0； （ii） 2 1 ( 1) C n k k n k k   ＝0； （iii） 1 1 1 2 1C 1 1 nn k n k k n       ． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学参考答案 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分． 1、10 2、 1 12 3、1 4、0 5、7 6、 16  7、6.42 8、 ln 2 1 9、 1 1 c b  10、 2 6 2 n n  11、3 12、 2 2 13、 2 2 14、4 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15、【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角 的正切公式，考查运算求解能力。 由条件得 2 2 5cos ,cos 10 5      、 为锐角， 7 2 5sin ,sin 10 5     1tan 7, tan 2     （1） 17tan tan 2tan( ) 311 tan tan 1 7 2                （2） 2 2 122 tan 42tan 2 11 tan 31 ( ) 2         47tan tan 2 3tan( 2 ) 141 tan tan 2 1 7 3                   、 为锐角， 30 2 2      32 4     16、【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、 推理论证能力。 （1）∵E、F 分别是 AB、BD 的中点 ∴EF 是△ABD 的中位线∴EF//AD 又∵ EF 面 ACD，AD面 ACD∴直线 EF//面 ACD （2） //EF AD EF BD AD BD     C CB CD F BD F BD     为 中点 BD CEF EFC BCD BD BCD        面 面 面 面 CF EF F 17、【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概 括能力和解决实际问题的能力。 （1）①由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO=θ(rad)，则 10 cos cos AQOA BAO     ， 故 10 cos OB   又 10 10OP tan  ，所以 10 10 10 10 cos cos y OA OB OP tan          所求函数关系式为 20 10sin 10 (0 ) cos 4 y         ②若 OP=x(km)，则 OQ=10-x，所以 2 2 2(10 ) 10 20 200OA OB x x x       所求函数关系式为 22 20 200 (0 10)y x x x x      （2）选择函数模型①， 2 2 10cos cos (20 10sin )( sin ) 10(2sin 1)' cos cos y               令 ' 0y  得 1sin 2   0 4 6       当 (0, ) 6   时 ' 0y  ，y是θ的减函数；当 ( , ) 6 4    时 ' 0y  ，y是θ的增函数； 所以当 6   时， min 120 10 2 10 10 3 10 3 2 y       此时点 O 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边 10 3 3 km处。 18、【解析】：本小题考查二次函数图像于性质、圆的方程的求法。 （1）令 x=0，得抛物线于 y轴的交点是（0，b） 令 f(x)=0，得 x2+2x+b=0，由题意 b≠0 且△>0，解得 b<1 且 b≠0 （2）设所求圆的一般方程为 x2+ y2+Dx+Ey+F=0 令 y=0，得 x2+Dx+F=0，这与 x2+2x+b=0 是同一个方程，故 D=2，F=b 令 x=0，得 y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为 b，代入得 E=-b-1 所以圆 C 的方程为 x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0 （3）圆 C 必过定点（0，1），（-2，1） 证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0 所以圆 C 必过定点（0，1）； 同理可证圆 C 必过定点（-2，1）。 19、【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。 （1）①当 n=4 时, 1 2 3 4, , ,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列， 则推出 d=0。 若删去 2a ，则 2 3 1 4a a a  ，即 2 1 1 1( 2 ) ( 3 )a d a a d    化简得 1 4 0a d  ，得 1 4a d  若删去 3a ，则 2 2 1 4a a a  ，即 2 1 1 1( ) ( 3 )a d a a d    化简得 1 0a d  ，得 1 1a d  综上，得 1 4a d  或 1 1a d  。 ②当 n=5 时, 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 中同样不可能删去 1 2 4 5, , ,a a a a ，否则出现连续三项。 若删去 3a ，则 1 5 2 4a a a a   ，即 1 1 1 1( 4 ) ( ) ( 3 )a a d a d a d     化简得 23 0d  ，因为 0d ，所以 3a 不能删去； 当 n≥6 时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 1 2 3 2 1, , , , , ,n n na a a a a a  中，由于不 能删去首项或末项，若删去 2a ，则必有 1 3 2n na a a a    ，这与 0d 矛盾；同样若删去 1na  也有 1 3 2n na a a a    ，这与 0d 矛盾；若删去 3 2, , na a  中任意一个，则必有 1 2 1n na a a a    ，这 与 0d 矛盾。(或者说：当 n≥6 时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项) 综上所述， 4n  。 （2）假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 nbbb ,......, 21 ，其中 1 1 1, ,x y zb b b   （ 0 1x y z n     ） 为 任 意 三 项 成 等 比 数 列 ， 则 2 1 1 1y x zb b b    ， 即 2 1 1 1( ) ( ) ( )b yd b xd b zd     ，化简得 2 2 1( ) ( 2 )y xz d x z y b d    （*） 由 1 0b d  知， 2y xz 与 2x z y  同时为 0 或同时不为 0 当 2y xz 与 2x z y  同时为 0 时，有 x y z  与题设矛盾。 故 2y xz 与 2x z y  同时不为 0，所以由（*）得 2 1 2 b y xz d x z y     因为0 1x y z n     ，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而 1b d 为有理数。 于是，对于任意的正整数 )4( nn ，只要 1b d 为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。 例如 n 项数列 1，1 2 ，1 2 2 ，……，1 ( 1) 2n  满足要求。 20、【解析】：本小题考查充要条件、指数函数于绝对值函数、不等式的综合运用。 （1） )()( 1 xfxf  恒成立 1 2( ) ( )f x f x  1 23 2 3x p x p    1 23 2x p x p     1 2 3log 2x p x p    （*） 若 1 2p p ，则（*） 30 log 2 ，显然成立；若 1 2p p ，记 1 2( )g x x p x p    当 1 2p p 时， 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 , ( ) 2 , , p p x p g x x p p p x p p p x p            所以 max 1 2( )g x p p  ，故只需 1 2 3log 2p p  。 当 1 2p p 时， 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 , ( ) 2 , , p p x p g x x p p p x p p p x p           所以 max 2 1( )g x p p  ，故只需 2 1 3log 2p p  。 综上所述， )()( 1 xfxf  对所有实数 x成立的充要条件是 1 2 3| | log 2p p  （2）10 如果 1 2 3| | log 2p p  ，则 )()( 1 xfxf  的图像关于直线 1x p 对称。（如图 1） 因为 ( ) ( )f a f b ，所以区间[ , ]a b 关于直线 1x p 对称。 因为减区间为 1[ , ]a p ，增区间为 1[ , ]p b ，所以单调增区间的长度和为 2 ab  。 20如果 1 2 3| | log 2p p  ，不妨设 1 2p p ，则 2 1 3log 2p p  ， 于是当 1x p 时， 1 2 1 2( ) 3 3 ( )p x p xf x f x    ，从而 )()( 1 xfxf  当 2x p 时， 31 2 1 2 2log 2 1 2( ) 3 3 3 3 3 ( )x p p p x p x pf x f x         ，从而 2( ) ( )f x f x 当 1 2p x p  时， 1 1( ) 3x pf x  及 2 2 ( ) 2 3 p xf x   ， 由方程 0 1 2 03 2 3x p p x   得 1 2 0 3 1 log 2 2 2 p px    ，（1） 显然 1 0 2 2 1 3 2 1 [( ) log 2] 2 p x p p p p      ，表明 0x 在 1p 与 2p 之间。 所以 1 01 0 22 ( ) , ( ) ( ) , p x xf x f x x x pf x       综上可知，在区间[ , ]a b 上， 01 02 ( ) , ( ) ( ) , a x xf x f x x x bf x       （如图 2） 故由函数 1( )f x 及函数 2 ( )f x 的单调性可知， ( )f x 在区间 [ , ]a b 上的单调增区间的长度之和为 0 1 2( ) ( )x p b p   ，由 ( ) ( )f a f b ，即 1 23 2 3p a b p   ，得 1 2 3log 2p p a b    （2） 故由（1）（2）得 0 1 2 1 2 3 1( ) ( ) [ log 2] 2 2 b ax p b p b p p          综合 1020 可知， ( )f x 在区间[ , ]a b 上的单调增区间的长度和为 2 ab  。 O y x (a,f(a)) (b,f(b)) (x0,y0) (p2,2) (p1,1) O y x (a,f(a)) (b,f(b)) 图 1 图 2