高考数学专题复习：课时达标检测(六十三) 坐 标 系 4页

课时达标检测(六十三) 坐 标 系 ‎1．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．‎ 因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径PC＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎2．设M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离．‎ 解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1.‎ ‎3．在极坐标系中，求直线ρ(cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．‎ 解：ρ(cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.‎ ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，‎ 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，‎ 得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，‎ 所以x＝，y＝1.‎ 所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.‎ ‎4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.‎ ‎(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．‎ 解：(1)曲线C：ρ2＝，即ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，从而＋ρ2sin2θ＝1.‎ ‎∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，‎ 点R的直角坐标为R(2,2)．‎ ‎(2)设P(cos θ，sin θ)，‎ 根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，‎ ‎∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin，‎ 当θ＝时，|PQ|＋|QR|取最小值2，‎ ‎∴矩形PQRS周长的最小值为4，‎ 此时点P的直角坐标为.‎ ‎5．(2017·南京模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．‎ 解：圆C的极坐标方程可化为ρ＝kcos θ－ksin θ，‎ 即ρ2＝kρcos θ－kρsin θ，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，‎ 即2＋2＝k2，‎ 所以圆心C的直角坐标为.‎ 直线l的极坐标方程可化为ρsin θ·－ρcos θ·＝4，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，‎ 所以－|k|＝2.‎ 即|k＋4|＝2＋|k|，‎ 两边平方，得|k|＝2k＋3，‎ 所以或 解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.‎ ‎6．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．‎ ‎(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．‎ 解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.‎ ‎(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρ.‎ 又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，‎ 故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．‎ ‎7．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.‎ ‎(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；‎ ‎(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．‎ 解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.‎ 由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcosθ－＝4，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.‎ ‎(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，＋2sin α)，‎ 又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，‎ 得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，‎ 即(α为参数)，‎ ‎∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.‎ ‎8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点 D.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值．‎ 解：(1)∵C1的参数方程为 ‎∴C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a为半径)，‎ 将D 代入，得2＝‎2a×，‎ ‎∴a＝2，∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，‎ ‎∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，‎ 即ρ2＝.‎ ‎∴ρ＝，‎ ρ＝ ‎＝.‎ ‎∴＋＝＋＝.‎