高考数学专题复习课件：13-1 合情推理与演绎推理 51页

§13.1 　合情推理与演绎推理 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用 .2. 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 .3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 1 ．合情推理 (1) 归纳推理 ① 定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的 ____ 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 __________ 的推理，称为归纳推理 ( 简称归纳 ) ． ② 特点：由 _____ 到整体、由 ______ 到一般的推理． 全部 一般结论 部分 个别 (2) 类比推理 ① 定义：由两类对象具有某些 __________ 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 ( 简称类比 ) ． ② 特点：类比推理是由 _____ 到 ______ 的推理． (3) 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、 _____ ，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 类似特征 特殊 特殊 类比 2 ．演绎推理 (1) 演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由 _____ 到 _____ 的推理． (2) “ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式 ① 大前提 —— 已知的 _________ ； ② 小前提 —— 所研究的 __________ ； ③ 结论 —— 根据一般原理，对 __________ 做出的判断． 一般 特殊 一般原理 特殊情况 特殊情况 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确． ( 　　 ) (2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理． ( 　　 ) (3) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适． ( 　　 ) (4) “ 所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数 ” ，这是三段论推理，但其结论是错误的． ( 　　 ) (5) 一个数列的前三项是 1 ， 2 ， 3 ，那么这个数列的通项公式是 a n ＝ n ( n ∈ N * ) ． ( 　　 ) (6) 在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) × 　 (6) × 1 ．观察下列各式： a ＋ b ＝ 1 ， a 2 ＋ b 2 ＝ 3 ， a 3 ＋ b 3 ＝ 4 ， a 4 ＋ b 4 ＝ 7 ， a 5 ＋ b 5 ＝ 11 ， … ，则 a 10 ＋ b 10 等于 ( 　　 ) A ． 28 　　　　　　　　　　　 B ． 76 C ． 123 D ． 199 【 解析 】 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律， a 10 ＋ b 10 ＝ 123. 【 答案 】 C 2 ．命题 “ 有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数 ” 是假命题，推理错误的原因是 ( 　　 ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理 C ．使用了 “ 三段论 ” ，但推理形式错误 D ．使用了 “ 三段论 ” ，但小前提错误 【 解析 】 由 “ 三段论 ” 的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误． 【 答案 】 C 3 ． (2016· 济南模拟 ) 类比平面内 “ 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ” 的性质，可得出空间内的下列结论： ① 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ② 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是 ( 　　 ) A ． ①② 　　　　 　　 B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④ 【 解析 】 显然 ①④ 正确；对于 ② ，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于 ③ ，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 【 答案 】 D 4 ． (2016· 全国卷 Ⅱ ) 有三张卡片，分别写有 1 和 2 ， 1 和 3 ， 2 和 3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ” ，乙看了丙的卡片后说： “ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ” ，丙说： “ 我的卡片上的数字之和不是 5 ” ，则甲的卡片上的数字是 ________ ． 【 解析 】 为方便说明，不妨将分别写有 1 和 2 ， 1 和 3 ， 2 和 3 的卡片记为 A ， B ， C . 从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是 5 ，则丙只可能是卡片 A 或 B ，无论是哪一张，均含有数字 1 ，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是 1 可知，乙所拿的卡片必然是 C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是 2 ，知甲所拿的卡片为 B ，此时丙所拿的卡片为 A . 【 答案 】 1 和 3 5 ． (2017· 甘肃定西上学期期末 ) 观察如图等式，照此规律，第 n 个等式为 ________ ． 1 ＝ 1 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝ 9 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋ 7 ＝ 25 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋ 7 ＋ 8 ＋ 9 ＋ 10 ＝ 49 …… 【 解析 】 等式的右边为 1 ， 9 ， 25 ， 49 ，即 1 2 ， 3 2 ， 5 2 ， 7 2 ， … ，为奇数的平方．等式的左边以正整数为首项，每行个数为对应的奇数， ∴ 第 n 个式子的右边为 (2 n － 1) 2 ，左边为 n ＋ ( n ＋ 1) ＋ … ＋ (3 n － 2) ， ∴ 第 n 个等式为 n ＋ ( n ＋ 1) ＋ … ＋ (3 n － 2) ＝ (2 n － 1) 2 . 【 答案 】 n ＋ ( n ＋ 1) ＋ … ＋ (3 n － 2) ＝ (2 n － 1) 2 题型一　归纳推理 命题点 1 　与数字有关的等式的推理 【 例 1 】 (2016· 日照模拟 ) 对于实数 x ， [ x ] 表示不超过 x 的最大整数，观察下列等式： 【 答案 】 2 n 2 ＋ n 【 解析 】 第一个式子是 n ＝ 1 的情况，此时 a ＝ 1 1 ＝ 1 ；第二个式子是 n ＝ 2 的情况，此时 a ＝ 2 2 ＝ 4 ；第三个式子是 n ＝ 3 的情况，此时 a ＝ 3 3 ＝ 27 ，归纳可知 a ＝ n n . 【 答案 】 n n 【 答案 】 1 000 (1) n 级分形图中共有 ________ 条线段； (2) n 级分形图中所有线段长度之和为 ________ ． 【 解析 】 (1) 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有 3 ＝ (3 × 2 － 3) 条线段，二级分形图中有 9 ＝ (3 × 2 2 － 3) 条线段，三级分形图中有 21 ＝ (3 × 2 3 － 3) 条线段，按此规律 n 级分形图中的线段条数 a n ＝ (3 × 2 n － 3)( n ∈ N * ) ． 【 方法规律 】 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1) 与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2) 与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3) 与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可． (4) 与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性． 跟踪训练 1 (1) (2016· 抚顺模拟 ) 观察下图，可推断出 “ x ” 处应该填的数字是 ________ ． (2) (2016· 上海模拟 ) 如图，有一个六边形的点阵，它的中心是 1 个点 ( 算第 1 层 ) ，第 2 层每边有 2 个点，第 3 层每边有 3 个点， … ，依此类推，如果一个六边形点阵共有 169 个点，那么它的层数为 ( 　　 ) A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 【 解析 】 (1) 由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和， ∴ “ x ” 处应填的数字是 3 2 ＋ 5 2 ＋ 7 2 ＋ 10 2 ＝ 183. 【 答案 】 (1)183 　 (2)C 【 答案 】 C 【 方法规律 】 (1) 进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键． (2) 类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 跟踪训练 2 (2017· 山东日照一模 ) 36 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 36 ＝ 2 2 × 3 2 ，所以 36 的所有正约数之和为 (1 ＋ 3 ＋ 3 2 ) ＋ (2 ＋ 2 × 3 ＋ 2 × 3 2 ) ＋ (2 2 ＋ 2 2 × 3 ＋ 2 2 × 3 2 ) ＝ (1 ＋ 2 ＋ 2 2 )(1 ＋ 3 ＋ 3 2 ) ＝ 91 ，参照上述方法，可求得 200 的所有正约数之和为 ________ ． 【 解析 】 类比求 36 的所有正约数之和的方法， 200 的所有正约数之和可按如下方法求得：因为 200 ＝ 2 3 × 5 2 ，所以 200 的所有正约数之和为 (1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 )(1 ＋ 5 ＋ 5 2 ) ＝ 465. 【 答案 】 465 【 方法规律 】 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 跟踪训练 3 (2017· 安徽安庆二中第一次质检 ) 下列三句话按 “ 三段论 ” 模式排列顺序正确的是 ( 　　 ) ① y ＝ cos x ( x ∈ R) 是三角函数； ② 三角函数是周期函数； ③ y ＝ cos x ( x ∈ R) 是周期函数． A ． ①②③ B ． ②①③ C ． ②③① D ． ③②① 【 解析 】 根据 “ 三段论 ” ： “ 大前提 ”→“ 小前提 ” ⇒ “ 结论 ” 可知： ① y ＝ cos x ( x ∈ R) 是三角函数是 “ 小前提 ” ； ② 三角函数是周期函数是 “ 大前提 ” ； ③ y ＝ cos x ( x ∈ R) 是周期函数是 “ 结论 ” ． 故 “ 三段论 ” 模式排列顺序为 ②①③ . 故选 B. 【 答案 】 B 【 典例 2 】 设 S ， T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ＝ f ( x ) 满足： (1) T ＝ { f ( x )| x ∈ S } ； (2) 对任意 x 1 ， x 2 ∈ S ，当 x 1 ＜ x 2 时，恒有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ) ．那么称这两个集合 “ 保序同构 ”． 以下集合对不是 “ 保序同构 ” 的是 ( 　　 ) A ． A ＝ N * ， B ＝ N B ． A ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 3} ， B ＝ { x | x ＝－ 8 或 0 ＜ x ≤ 10} C ． A ＝ { x |0 ＜ x ＜ 1} ， B ＝ R D ． A ＝ Z ， B ＝ Q 【 答案 】 D 【 温馨提醒 】 (1) 解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳． (2) 解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题 . 2 ．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． ► 失误与防范 1 ．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2 ．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性． 3 ．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据 .