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- 2021-06-10 发布
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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案
第23讲 三角函数的图象与性质
一.课标要求:
1.能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像,了解三角函数的周期性;
2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(-π/2,π/2)上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等);
3.结合具体实例,了解y=Asin(wx+φ)的实际意义;能借助计算器或计算机画出y=Asin(wx+φ)的图像,观察参数A,w,φ对函数图像变化的影响。
二.命题走向
近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。
预测2013年高考对本讲内容的考察为:
1.题型为1道选择题(求值或图象变换),1道解答题(求值或图像变换);
2.热点问题是三角函数的图象和性质,特别是y=Asin(wx+φ)的图象及其变换;
三.要点精讲
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2.三角函数的单调区间:
的递增区间是,
递减区间是;
的递增区间是,
递减区间是,
的递增区间是,
3.函数
最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4.由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象。
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图象。
5.由y=Asin(ωx+)的图象求其函数式:
给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
6.对称轴与对称中心:
的对称轴为,对称中心为;
的对称轴为,对称中心为;
对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。
7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;
8.求三角函数的周期的常用方法:
经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。
9.五点法作y=Asin(ωx+)的简图:
五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。
四.典例解析
题型1:三角函数的图象
例1.函数y=-xcosx的部分图象是( )
解析:因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A、C,当x∈(0,)时,y=-xcosx<0。答案为D。
例2.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是( )
解析:由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数,B为偶函数,C为非奇非偶函数。
点评:利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。
题型2:三角函数图象的变换
例3.试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。
解析:y=sin(2x+)
另法答案:
(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象;
(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象;
(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。
例4.把曲线ycosx+2y-1=0先沿x轴向右平移个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是( )
A.(1-y)sinx+2y-3=0 B.(y-1)sinx+2y-3=0
C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0
解析:将原方程整理为:y=,因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位,因此可得y=-1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.
点评:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解,可直接化为:(y+1)cos(x-)+2(y+1)-1=0,即得C选项。
题型3:三角函数图象的应用
例5.已知电流I与时间t的关系式为。
(1)右图是(ω>0,)
在一个周期内的图象,根据图中数据求
的解析式;
(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?
解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.
(1)由图可知 A=300。
设t1=-,t2=,
则周期T=2(t2-t1)=2(+)=。
∴ ω==150π。
又当t=时,I=0,即sin(150π·+)=0,
而, ∴ =。
故所求的解析式为。
(2)依题意,周期T≤,即≤,(ω>0)
∴ ω≥300π>942,又ω∈N*,
故最小正整数ω=943。
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
图
例6.(1)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,x∈R)在一个周期内的图象如图所示,求直线y=与函数f(x)图象的所有交点的坐标。
解析:根据图象得A=2,T=π-(-)=4π,
∴ω=,∴y=2sin(+),
又由图象可得相位移为-,∴-=-,∴=.即y=2sin(x+)。
根据条件=2sin(),∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π(k∈Z),
∴x=4kπ+(k∈Z)或x=4kπ+π(k∈Z)。
∴所有交点坐标为(4kπ+)或(4kπ+)(k∈Z)。
点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
(2)在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x取值范围为( )
A.(,)∪(π,) B.(,π)
C.(,) D.(,π)∪(,)
解析:C;
解法一:作出在(0,2π)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标和,由图1可得C答案。
图1 图2
解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选C。(如图2)
题型4:三角函数的定义域、值域
例7.(1)已知f(x)的定义域为[0,1],求f(cosx)的定义域;
(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域;
分析:求函数的定义域:(1)要使0≤cosx≤1,(2)要使sin(cosx)>0,这里的cosx以它的值充当角。
解析:(1)0≤cosx<12kπ-≤x≤2kπ+,且x≠2kπ(k∈Z)。
∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ-,2kπ+]且x≠2kπ,k∈Z}。
(2)由sin(cosx)>02kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z)。
又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。
故所求定义域为{x|x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z}。
点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线。
例8.已知函数f(x)=,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域。
解析:由cos2x≠0得2x≠kπ+,解得x≠,k∈Z,所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠,k∈Z},
因为f(x)的定义域关于原点对称,
且f(-x)==f(x)。
所以f(x)是偶函数。
又当x≠(k∈Z)时,
f(x)=。
所以f(x)的值域为{y|-1≤y<或