高考数学专题复习：专题5解析几何 第1讲 11页

专题五　第一讲 一、选择题 ‎1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋‎2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由l1∥l2知3＝a(a－2)且‎2a≠6(a－2)，‎ ‎2a‎2≠18，求得a＝－1，‎ ‎∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为 d＝＝.故选B.‎ ‎2．(2013·山东潍坊模拟)若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是(　　)‎ A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0‎ C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　结合圆的几何性质易知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.‎ ‎3．(文)⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为(　　)‎ A. B．4‎ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.‎ 圆心O(0,0)到l的距离d＝，⊙O的半径R＝2，‎ ‎∴截得弦长为2＝2＝.‎ ‎(理)(2014·哈三中一模)直线x＋y＋＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　弦心距d＝＝1，半径r＝2，‎ ‎∴劣弧所对的圆心角为.‎ ‎4．(2014·湖南文，6)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)‎ A．21 B．19‎ C．9 D．－11‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查了两圆的位置关系．‎ 由条件知C1：x2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r1＝1，r2＝，由两圆外切的性质知，5＝1＋，∴m＝9.‎ ‎5．(文)(2014·哈三中二模)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝x2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为(　　)‎ A．x＝1 B．x＝ C．y＝－ D．y＝－1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵A(0,1)是抛物线x2＝4y的焦点，又抛物线的准线为y＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C与定直线l：y＝－1总相切．‎ ‎(理)(2014·河北衡水中学5月模拟)已知圆的方程x2＋y2＝4，若抛物线过点A(0，－1)、B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是(　　)‎ A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)‎ C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　如图，设圆的切线l为抛物线的准线，F为焦点，过A、B、O作l的垂线，垂足为C、D、E，由抛物线的定义知，|FA|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝2|OE|＝4，由椭圆定义知F 在以A、B为焦点的椭圆上，所以方程为＋＝1，x＝0时不合题意，故选C.‎ ‎6．(2014·福建理，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝‎1”‎是“△OAB的面积为”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎[答案]　A ‎[解析]　圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋10＝0的距离d＝，弦长为|AB|＝2＝，‎ ‎∴S△OAB＝×|AB|·d＝＝，∴k＝±1，‎ 因此当“k＝1”时，“S△OAB＝”，故充分性成立．‎ ‎“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，‎ ‎∴必要性不成立，故选A.‎ 二、填空题 ‎7．(2013·天津耀华中学月考)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．‎ ‎[答案]　2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0‎ ‎[解析]　本题主要考查直线方程的求法，属中档题．‎ 当直线斜率不存在时，则直线方程为x＝3，则A、B两点到x＝3的距离分别为d1＝5，d2＝1，不符要求．故直线斜率存在，设为k，则直线方程可设为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，‎ 则由题意得＝，解得k＝－或k＝2，‎ 故直线方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.‎ ‎8．(文)(2013·天津耀华中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝‎ ‎4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．‎ ‎[答案]　(－13,13)‎ ‎[解析]　本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．‎ 要使圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．‎ 即<1，解|c|<13，‎ ‎∴－130)的焦点在圆C1上．‎ ‎(1)求抛物线C2的方程；‎ ‎(2)过点A(－1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)易求得圆心到直线的距离为，‎ 所以半径r＝＝1.∴圆C1：x2＋y2＝1.抛物线的焦点(0，)在圆x2＋y2＝1上，得p＝2，‎ 所以x2＝4y.‎ ‎(2)设所求直线的方程为y＝k(x＋1)，‎ B(x1，y1)，C(x2，y2)．‎ 将直线方程代入抛物线方程可得x2－4kx－4k＝0，‎ ‎∴x1x2＝－4k.‎ 因为抛物线y＝，所以y′＝，‎ 所以两条切线的斜率分别为、，‎ 所以·＝－1＝，所以k＝1.‎ 故所求直线方程为x－y＋1＝0.‎ ‎(理)(2014·石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C方程；‎ ‎(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．‎ ‎[解析]　(1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得 ＝，‎ 化简得x2＝4y.‎ ‎(2)解法一：设直线PQ的方程为y＝kx＋b，‎ 由消去y得x2－4kx－4b＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，且Δ＝16k2＋16b 以点P为切点的切线的斜率为y′1＝x1，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，‎ 即y＝x1x－x.‎ 同理过点Q的切线的方程为y＝x2x－x.‎ 两条切线的交点A(xA，yB)在直线x－y－2＝0上，‎ 解得，即A(2k，－b)．‎ 则：2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，‎ 代入Δ＝16k2＋16b＝16k2＋32－32k＝16(k－1)2＋16>0，‎ ‎|PQ|＝|x1－x2|＝4，‎ A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝，‎ S△APQ＝|PD|·d＝4|k2＋b|·＝4(k2＋b) ‎＝4(k2－2k＋2)＝4[(k－1)2＋1].‎ 当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．‎ 解法二：设A(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线x2＝4y上，则以点P为切点的切线的斜率为y1＝x1，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，‎ 即y＝x1x－y1，‎ 同理以点Q为切点的方程为y＝x2x－y2.‎ 设两条切线均过点A(x0，y0)，则 点P，Q的坐标均满足方程 y0＝xx0－y，即直线PQ的方程为：y＝x0x－y0，‎ 代入抛物线方程x2＝4y消去y可得：‎ x2－2x0x＋4y0＝0‎ ‎|PQ|＝|x1－x2|‎ ‎＝ A(x0，y0)到直线PQ的距离为d＝，‎ S△APQ＝|PQ|d·|x－4y0|· ‎＝(x－4y0) ‎＝(x－4x0＋8)＝[(x0－2)2＋4] 当x0＝2时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．‎ ‎10．已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为－，记点P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|－|＝|＋|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)设P(x，y)，‎ 则由直线PA与直线PB斜率之积为－得，‎ ·＝－(x≠±2)，‎ 整理得曲线C的方程为＋＝1(x≠±2)．‎ ‎(2)若|－|＝|＋|，则⊥.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 若直线MN斜率不存在，则y2＝－y1，N(x1，－y1)．‎ 由⊥得·＝－1，又＋＝1.‎ 解得直线MN方程为x＝±.原点O到直线MN的距离d＝.‎ 若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m.‎ 由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝，x1·x2＝.　(*)‎ 由⊥得·＝－1，整理得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.‎ 代入(*)式解得‎7m2‎＝12(k2＋1)．‎ 此时(4k2＋3)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0中Δ>0.‎ 此时原点O到直线MN的距离 d＝＝.‎ 故原点O到直线MN的距离恒为d＝.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2＋y2＝.‎ 一、选择题 ‎11．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为(　　)‎ A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)的圆心为C，弦AB的中点为D，易知C(－1,2)，又D(－2,3)，‎ 故直线CD的斜率kCD＝＝－1，‎ 则由CD⊥l知直线l的斜率kl＝－＝1，‎ 故直线l的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.‎ ‎12．过点(2，－1)的直线l与圆x2＋y2－2y＝1相切，则直线l的倾斜角的大小为(　　)‎ A．30°或150° B．45°或135°‎ C．75°或105° D．105°或165°‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设直线l为y＝k(x－2)－1，代入x2＋y2－2y＝1，得(1＋k2)x2－4k(k＋1)x＋4(k＋1)2－2＝0，由Δ＝16k2(k＋1)2－4(1＋k2)[4(k＋1)2－2]＝0，得k＝－2±，倾斜角为105°或165°.‎ ‎13．(2013·宣城市六校联考)过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎[答案]　D ‎[解析]　过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．‎ ‎14．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a2＋1＝0和圆：x2＋y2＋2x－4＝0相切，则a的取值范围是(　　)‎ A．a>7或a<－3‎ B．a>或a<－ C．－3≤a≤－或≤a≤7‎ D．a≥7或a－3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，‎ 由得－7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围－3≤a≤－或≤a≤7，故选C.‎ 二、填空题 ‎15．(2013·杭州质检)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin‎2A＋sin2B＝sin‎2C，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　由正弦定理得a2＋b2＝c2，‎ ‎∴圆心到直线距离d＝＝＝，‎ ‎∴弦长l＝2＝2＝2.‎ ‎16．(2013·合肥质检)设直线mx－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦长为2，则m＝________.‎ ‎[答案]　0‎ ‎[解析]　圆的半径为2，弦长为2，∴弦心距为1，即得d＝＝1，解得m＝0.‎ 三、解答题 ‎17．(文)(2013·海口调研)已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)经过点(1，)．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系＝＋(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由圆C：x2＋y2＝r2，再由点(1，)在圆C上，得r2＝12＋()2＝4，‎ 所以圆C的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．‎ ‎①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，‎ 联立消去y得，‎ ‎(1＋k2)x2＋2k(k＋1)x＋k2＋2k－3＝0，‎ 由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋，‎ x1x2＝＝1＋，‎ y1y2＝k2x1x2＋k(k＋1)(x1＋x2)＋(k＋1)2＝－3，‎ 因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，‎ 因此，得x＋y＝4，x＋y＝4，‎ 由＝＋得，x0＝，y0＝，‎ 由于点M也在圆C上，则()2＋()2＝4，‎ 整理得＋3·＋x1x2＋y1y2＝4，‎ 即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋＋(－3)＝0，‎ 从而得，k2－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为 y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.‎ ‎②若直线l的斜率不存在，‎ 则A(－1，)，B(－1，－)，M(，)‎ ‎()2＋()2＝4－≠4，‎ 故点M不在圆上与题设矛盾，‎ 综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.‎ ‎(理)已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；‎ ‎(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)因为a＝，e＝，所以c＝1，‎ 则b＝1，即椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以kPF＝，‎ ‎∴kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x.‎ 又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)．‎ ‎∴kPQ＝－1，kOP＝1，‎ ‎∴kOP·kPQ＝－1，‎ 即OP⊥PQ，‎ 故直线PQ与圆O相切．‎ ‎(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±)，‎ 则y＝2－x，kPF＝，kOQ＝－，‎ ‎∴直线OQ的方程为y＝－x，‎ ‎∴点Q(－2，)，‎ ‎∴kPQ＝＝ ‎＝＝－，又kOP＝.‎ ‎∴kOP·kPQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ始终与圆O相切．‎