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- 2021-06-10 发布
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单元滚动检测六 数 列
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共4页.
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.
3.本次考试时间120分钟,满分160分.
4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.
第Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)
1.(2016·苏北四市联考)已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{an}的公差d=________.
2.数列为等差数列,a1,a2,a3为等比数列,a5=1,则a10=________.
3.若数列满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列的前n项和最大时,n的值为________.
4.(2016·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a1=1,a3=4,Sk=63,则k=________.
5.在等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值是__________.
6.已知为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8.则a1+a10=________.
7.已知是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的取值范围是____________.
8.若数列的前n项和Sn=an+,则的通项公式是an=________.
9.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为________.
10.已知数列{an}:,+,++,…,+++…+,…,若bn=,那么数列{bn}的前n项和Sn为__________.
11.(2016·常州模拟)已知Sn是数列的前n项和,且点(an,Sn)在直线2x-y-2=0上,则=________.
12.(2016·山西运城期中)数列满足a1=1,且对于任意的n∈N*都满足an+1=,则数列的前n项和为__________.
13.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是________.
14.(2016·苏州一模)对于正项数列{an},定义Hn=为{an}的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为Hn=,则数列{an}的通项公式为______________.
第Ⅱ卷
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)(2016·全国甲卷)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b1,b11,b101; (2)求数列{bn}的前1 000项和.
16.(14分)(2016·南京模拟)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,请说明理由.
17.(14分)(2016·泰州一模)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=3Sn+1,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)记Tn为数列{n+an}的前n项和,求Tn.
18.(16分)(2017·宜昌调研)已知数列满足a1=1,an=(n∈N*,n≥2),数列满足关系式bn=(n∈N*).
(1)求证:数列为等差数列; (2)求数列的通项公式.
19.(16分)(2016·盐城一模)已知数列中,a1=1,其前n项的和为Sn,且满足an=(n≥2,n∈N*).
(1)求证:数列是等差数列; (2)证明:S1+S2+S3+…+Sn<.
20.(16分)已知数列的前n项和Sn=3n,数列满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*).
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的通项公式;
(3)若cn=,求数列的前n项和Tn.
答案解析
1.-3
解析 方法一 由题意可得
解得a1=5,d=-3.
方法二 由题意可得a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4,
∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3.
2.1
解析 由题意得a=a1a3=(a2-d)(a2+d)=a-d2,
所以d=0,a10=a5=1.
3.7
解析 ∵an+1-an=-3,
∴数列是以19为首项,-3为公差的等差数列,
∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.
设前k项和最大,则有∴
∴≤k≤.
∵k∈N*,∴k=7.故满足条件的n的值为7.
4.6
解析 设等比数列{an}的公比为q,由已知a1=1,a3=4,
得q2==4.
又{an}的各项均为正数,∴q=2.
又Sk==63,∴2k-1=63,解得k=6.
5.1或-
解析 当公比q=1时,a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求;
当q≠1时,a1q2=7,=21,
解得q=-或q=1(舍去).综上可知,q=1或q=-.
6.-7
解析 由题意,根据等比数列的性质得a5a6=a4a7=-8,
又a4+a7=2,设a4,a7是方程x2-2x-8=0的两根,
解得或解得a1+a10=-7.
7.[8,)
解析 因为是等比数列,a2=2,a5=,所以q3==,
解得q=,a1=4,故a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-q2n)∈[8,).
8.(-2)n-1
解析 ∵Sn=an+,①
∴当n≥2时,Sn-1=an-1+.②
①-②,得an=an-an-1,即=-2.
∵a1=S1=a1+,∴a1=1,
∴是以1为首项,-2为公比的等比数列,
∴an=(-2)n-1.
9.1 830
解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1,
∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,
∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234==1 830.
10.
解析 ∵an==,
∴bn===4(-),
∴Sn=4[(1-)+(-)+…+(-)]=4(1-)=.
11.
解析 由点(an,Sn)在直线2x-y-2=0上,得2an-Sn-2=0,即Sn=2(an-1),所以当n≥2
时,Sn-1=2(an-1-1),两式相减可得an=2an-1(n≥2),又a1=2a1-2,所以a1=2,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,
所以an=2n,===.
12.
解析 由an+1=,得=+3,
即-=3.
又∵a1=1,∴=1,
∴数列是以1为首项,以3为公差的等差数列,
∴=1+3(n-1)=3n-2,
∴an=.anan+1==(-),
∴数列的前n项和为(1-+-+…+-)=(1-)=.
13.5
解析 由等差数列的前n项和及等差中项,
可得===
==
==7+ (n∈N*),
故n=1,2,3,5,11时,为整数.
即正整数n的个数是5.
14.an=(n∈N*)
解析 由Hn=可得
a1+2a2+3a3+…+nan==,①
a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n≥2),②
①-②得nan=-=(n≥2),
∴an=(n≥2).
又H1==,∴a1=,也满足an=.
综上,an=(n∈N*).
15.解 (1)设数列{an}的公差为d,根据已知有S7=7+21d=28,解得d=1,
所以数列{an}的通项公式为an=n.
所以b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.
(2)因为bn=
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.
16.解 (1)设数列{an}的公差为d,依题意知,2,2+d,2+4d成等比数列,
故有(2+d)2=2(2+4d),
化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.
当d=0时,an=2;
当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,
从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.
(2)当an=2时,Sn=2n.
显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.
当an=4n-2时,Sn==2n2.
令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,
解得n>40或n<-10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.
综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;
当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,且n的最小值为41.
17.解 (1)由题意,an+1=3Sn+1,
则当n≥2时,an=3Sn-1+1.两式相减,得an+1=4an(n≥2).
又a1=1,a2=4,=4,
所以数列{an}是首项为1,公比为4的等比数列,
故通项公式是an=4n-1(n∈N*).
(2)Tn=(1+a1)+(2+a2)+(3+a3)+…+(n+an)
=(1+2+…+n)+(1+4+42+…+4n-1)
=+
=+.
18.(1)证明 ∵bn=,且an=,
∴bn+1===,
∴bn+1-bn=-=2.
又b1==1,
∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知数列的通项公式为
bn=1+(n-1)×2=2n-1,又bn=,∴an==.
∴数列的通项公式为an=.
19.证明 (1)当n≥2时,Sn-Sn-1=,
∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,
∴-=2,
∴数列构成以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)可知,=+(n-1)·2=2n-1,
∴Sn=.
∴S1+S2+S3+…+Sn
=+++…+
=(1-+-+-+…+-)
=(1-)<.
20.解 (1)∵Sn=3n,∴Sn-1=3n-1(n≥2),
∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2).
当n=1时,2×31-1=2≠S1=a1=3.
∴数列{an}的通项公式为an=
(2)∵bn+1=bn+(2n-1),∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,bn-bn-1=2n-3(n≥2).
以上各式相加得
bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2(n≥2).
∵b1=-1,∴bn=n2-2n(n≥2),且b1=-1也满足bn=n2-2n,
∴数列{bn}的通项公式为bn=n2-2n(n∈N*).
(3)由题意得cn=
当n≥2时,
Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1,
∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n.
上述两式相减得
-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n.
∴Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1)
=(n-2)×3n-=.
∴Tn=
∴Tn=(n∈N*).