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  • 2021-06-10 发布

2018《单元滚动检测卷》高考数学(理)(苏教版)精练检测六 数 列

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单元滚动检测六 数 列 考生注意:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共4页.‎ ‎2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.‎ ‎3.本次考试时间120分钟,满分160分.‎ ‎4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.‎ 第Ⅰ卷 ‎                   ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在题中横线上)‎ ‎1.(2016·苏北四市联考)已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{an}的公差d=________.‎ ‎2.数列为等差数列,a1,a2,a3为等比数列,a5=1,则a10=________.‎ ‎3.若数列满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列的前n项和最大时,n的值为________.‎ ‎4.(2016·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a1=1,a3=4,Sk=63,则k=________.‎ ‎5.在等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值是__________.‎ ‎6.已知为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8.则a1+a10=________.‎ ‎7.已知是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的取值范围是____________.‎ ‎8.若数列的前n项和Sn=an+,则的通项公式是an=________.‎ ‎9.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为________.‎ ‎10.已知数列{an}:,+,++,…,+++…+,…,若bn=,那么数列{bn}的前n项和Sn为__________.‎ ‎11.(2016·常州模拟)已知Sn是数列的前n项和,且点(an,Sn)在直线2x-y-2=0上,则=________.‎ ‎12.(2016·山西运城期中)数列满足a1=1,且对于任意的n∈N*都满足an+1=,则数列的前n项和为__________.‎ ‎13.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是________.‎ ‎14.(2016·苏州一模)对于正项数列{an},定义Hn=为{an}的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为Hn=,则数列{an}的通项公式为______________.‎ 第Ⅱ卷 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)(2016·全国甲卷)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.‎ ‎(1)求b1,b11,b101; (2)求数列{bn}的前1 000项和.‎ ‎16.(14分)(2016·南京模拟)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎17.(14分)(2016·泰州一模)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=3Sn+1,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式; (2)记Tn为数列{n+an}的前n项和,求Tn.‎ ‎18.(16分)(2017·宜昌调研)已知数列满足a1=1,an=(n∈N*,n≥2),数列满足关系式bn=(n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列为等差数列; (2)求数列的通项公式.‎ ‎19.(16分)(2016·盐城一模)已知数列中,a1=1,其前n项的和为Sn,且满足an=(n≥2,n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列是等差数列; (2)证明:S1+S2+S3+…+Sn<.‎ ‎20.(16分)已知数列的前n项和Sn=3n,数列满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*).‎ ‎(1)求数列的通项公式; ‎ ‎(2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)若cn=,求数列的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ 答案解析 ‎1.-3‎ 解析 方法一 由题意可得 解得a1=5,d=-3.‎ 方法二 由题意可得a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4,‎ ‎∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3.‎ ‎2.1‎ 解析 由题意得a=a1a3=(a2-d)(a2+d)=a-d2,‎ 所以d=0,a10=a5=1.‎ ‎3.7‎ 解析 ∵an+1-an=-3,‎ ‎∴数列是以19为首项,-3为公差的等差数列,‎ ‎∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.‎ 设前k项和最大,则有∴ ‎∴≤k≤.‎ ‎∵k∈N*,∴k=7.故满足条件的n的值为7.‎ ‎4.6‎ 解析 设等比数列{an}的公比为q,由已知a1=1,a3=4,‎ 得q2==4.‎ 又{an}的各项均为正数,∴q=2.‎ 又Sk==63,∴2k-1=63,解得k=6.‎ ‎5.1或- 解析 当公比q=1时,a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求;‎ 当q≠1时,a1q2=7,=21,‎ 解得q=-或q=1(舍去).综上可知,q=1或q=-.‎ ‎6.-7‎ 解析 由题意,根据等比数列的性质得a5a6=a4a7=-8,‎ 又a4+a7=2,设a4,a7是方程x2-2x-8=0的两根,‎ 解得或解得a1+a10=-7.‎ ‎7.[8,)‎ 解析 因为是等比数列,a2=2,a5=,所以q3==,‎ 解得q=,a1=4,故a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-q2n)∈[8,).‎ ‎8.(-2)n-1‎ 解析 ∵Sn=an+,①‎ ‎∴当n≥2时,Sn-1=an-1+.②‎ ‎①-②,得an=an-an-1,即=-2.‎ ‎∵a1=S1=a1+,∴a1=1,‎ ‎∴是以1为首项,-2为公比的等比数列,‎ ‎∴an=(-2)n-1.‎ ‎9.1 830‎ 解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1,‎ ‎∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,‎ ‎∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234==1 830.‎ ‎10. 解析 ∵an==,‎ ‎∴bn===4(-),‎ ‎∴Sn=4[(1-)+(-)+…+(-)]=4(1-)=.‎ ‎11. 解析 由点(an,Sn)在直线2x-y-2=0上,得2an-Sn-2=0,即Sn=2(an-1),所以当n≥2‎ 时,Sn-1=2(an-1-1),两式相减可得an=2an-1(n≥2),又a1=2a1-2,所以a1=2,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,‎ 所以an=2n,===.‎ ‎12. 解析 由an+1=,得=+3,‎ 即-=3.‎ 又∵a1=1,∴=1,‎ ‎∴数列是以1为首项,以3为公差的等差数列,‎ ‎∴=1+3(n-1)=3n-2,‎ ‎∴an=.anan+1==(-),‎ ‎∴数列的前n项和为(1-+-+…+-)=(1-)=.‎ ‎13.5‎ 解析 由等差数列的前n项和及等差中项,‎ 可得=== ‎== ‎==7+ (n∈N*),‎ 故n=1,2,3,5,11时,为整数.‎ 即正整数n的个数是5.‎ ‎14.an=(n∈N*)‎ 解析 由Hn=可得 a1+2a2+3a3+…+nan==,①‎ a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n≥2),②‎ ‎①-②得nan=-=(n≥2),‎ ‎∴an=(n≥2).‎ 又H1==,∴a1=,也满足an=.‎ 综上,an=(n∈N*).‎ ‎15.解 (1)设数列{an}的公差为d,根据已知有S7=7+21d=28,解得d=1,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=n.‎ 所以b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.‎ ‎(2)因为bn= 所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.‎ ‎16.解 (1)设数列{an}的公差为d,依题意知,2,2+d,2+4d成等比数列,‎ 故有(2+d)2=2(2+4d),‎ 化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.‎ 当d=0时,an=2;‎ 当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,‎ 从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.‎ ‎(2)当an=2时,Sn=2n.‎ 显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.‎ 当an=4n-2时,Sn==2n2.‎ 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,‎ 解得n>40或n<-10(舍去),‎ 此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.‎ 综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;‎ 当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,且n的最小值为41.‎ ‎17.解 (1)由题意,an+1=3Sn+1,‎ 则当n≥2时,an=3Sn-1+1.两式相减,得an+1=4an(n≥2).‎ 又a1=1,a2=4,=4,‎ 所以数列{an}是首项为1,公比为4的等比数列,‎ 故通项公式是an=4n-1(n∈N*).‎ ‎(2)Tn=(1+a1)+(2+a2)+(3+a3)+…+(n+an)‎ ‎=(1+2+…+n)+(1+4+42+…+4n-1)‎ ‎=+ ‎=+.‎ ‎18.(1)证明 ∵bn=,且an=,‎ ‎∴bn+1===,‎ ‎∴bn+1-bn=-=2.‎ 又b1==1,‎ ‎∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列.‎ ‎(2)解 由(1)知数列的通项公式为 bn=1+(n-1)×2=2n-1,又bn=,∴an==.‎ ‎∴数列的通项公式为an=.‎ ‎19.证明 (1)当n≥2时,Sn-Sn-1=,‎ ‎∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,‎ ‎∴-=2,‎ ‎∴数列构成以1为首项,2为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)可知,=+(n-1)·2=2n-1,‎ ‎∴Sn=.‎ ‎∴S1+S2+S3+…+Sn ‎=+++…+ ‎=(1-+-+-+…+-)‎ ‎=(1-)<.‎ ‎20.解 (1)∵Sn=3n,∴Sn-1=3n-1(n≥2),‎ ‎∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2).‎ 当n=1时,2×31-1=2≠S1=a1=3.‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an= ‎(2)∵bn+1=bn+(2n-1),∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,bn-bn-1=2n-3(n≥2).‎ 以上各式相加得 bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2(n≥2).‎ ‎∵b1=-1,∴bn=n2-2n(n≥2),且b1=-1也满足bn=n2-2n,‎ ‎∴数列{bn}的通项公式为bn=n2-2n(n∈N*).‎ ‎(3)由题意得cn= 当n≥2时,‎ Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1,‎ ‎∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n.‎ 上述两式相减得 ‎-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n.‎ ‎∴Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1)‎ ‎=(n-2)×3n-=.‎ ‎∴Tn= ‎∴Tn=(n∈N*).‎