【数学】2014高考专题复习：第8章 立体几何 第1节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 (2) 107页

【数学】2014 版《6 年高考 4 年模拟》 立体几何 第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体 积 第一部分 六年高考荟萃 2013 年高考题 1 ．（2013 年高考新课标 1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm, 如果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ） A． 3500 3 cm B． 3866 3 cm C． 31372 3 cm D． 32048 3 cm 答案：A 设正方体上底面所在平面截球得小圆 M， 则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心．如图． 设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆 M 的半径为 4， 由球的截面圆性质，得 R2=（R﹣2）2+42， 解出 R=5， 所以根据球的体积公式，该球的体积 V= = = ． 故选 A． 2 ．（2013 年高考新课标 1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ） A．16 8 B．8 8 C．16 16 D．8 16 答案：A 三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分 别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4． 所以长方体的体积=4×2×2=16， 半个圆柱的体积=×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是 16+8π； 故选 A． 3 ．（2013 年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简 单几何体组成,其体积分别记为 1V , 2V , 3V , 4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面 两个简单几何体均为多面体,则有（ ） A． 1 2 4 3V V V V   B． 1 3 2 4V V V V   C． 2 1 3 4V V V V   D． 2 3 1 4V V V V   答案：C 本题考查三视图以及空间几何体的体积。从上到下为圆台，圆柱，棱柱，棱台体积依次为 3 7)1212(3 1 22 1  V ， ,22 V 823 3 V ， .3 28)416416(3 1 4 V 所 以 4312 VVVV  ，故选 C. 4 ．（2013 年高考湖南卷（理））已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ） A． B． 2 C． 2-1 2 D． 2+1 2 答案：C 本题考查三视图的判断。因为正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则说明正方体为 水平放置，则正视图的最大面积为正方体对角面，此时面积为 2 ，最小面积为正方体的 一个侧面，面积为 1，所以侧视图的面积1 2S  ,所以面积不可能的是 2 1 2  ，选 C. 5 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））某四棱台的三视 图如图所示,则该四棱台的体积是 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第 5 题图 （ ） A． 4 B． 14 3 C． 16 3 D． 6 答案：B 由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为 和 2 的正方形,高为 2 ,故  2 2 2 21 141 1 2 2 23 3V       ,故选 B． 6．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如 题 5 图所示,则该几何体的体积为 （ ） A． 560 3 B． 580 3 C． 200 D． 240 答案：C 【命题立意】本题考查三视图以及空间几何体的体积公式。由三视图可知该几何体是个四 棱柱。棱柱的底面为等腰梯形，高为 10.等腰梯形的上底为 2，下底为 8，高为 4,。所以梯 形的面积为 2 8 4 202    ，所以四棱柱的体积为 20 10 200  ，选 C. 7．（2013 年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 答案：D 由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项 A 和选项 C． 而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除 B．故选 D． 8．（2013 年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___ 3  _____. 答案： 3  【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为 1 的半圆，高为 2。所以体积 3212 1 3 1 2  V 9．（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, 3 2OK  ,且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60 ,则球O 的表面积等于______. 答案：16 如图所示，设球 O 的半径为 r，根据题意得 OC= ，CK= 在△OCK 中，OC2=OK2+CK2，即 所以 r2=4 所以球 O 的表面积等于 4πr2=16π 故答案为 16π 10．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版））若某几何体的三 视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________ 2cm . 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 （第 12 题图） 答案：24 ：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为 3，4， 棱柱的高为 5，被截取的棱锥的高为 3．如图： V=V 棱柱﹣V 三棱锥= ﹣ ×3=24（cm3） 故答案为：24 11．（2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积是____________. 答案：16 16  由三视图可知该几何体圆柱中去除正四棱柱。 所以该几何体的体积V  2 22 4 2 4 16 16       。 12．（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））已知某一多面体 内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的 四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_______________ 答案： 由 图 可 知 ， 图 形 为 一 个 球 中 间 是 内 接 一 个 棱 长 为 2 的 正 方 体 ， 2 23 2 3 4 122R S R      球 表 2012 年高考题 1.[2012·重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1， 2和 a，且长为 a 的棱与长为 2的 棱异面，则 a 的取值范围是( ) A．(0， 2) B．(0， 3)C．(1， 2) D．(1， 3) 答案：A [解析] 如图所示，设 AB＝a，CD＝ 2，BC＝BD＝AC＝AD＝1， 则∠ACD＝∠BCD＝45°，要构造一个四面体，则平面 ACD 与平面 BCD 不能重合，当△BCD 与△ACD 重合时，a＝0；当 A、B、C、D 四点共面， 且 A、B 两点在 DC 的两侧时，在△ABC 中，∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝45°＋45°＝90°， AB＝ AC2＋BC2＝ 2，所以 a 的取值范围是(0， 2)． 2. [2012·辽宁卷] 一个几何体的三视图如图所示．则该几何体的表面积为________． 答案：38 [解析] 本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法．解题的突破 口为弄清要求的几何体的形状，以及表面积的构成．由三视图可知，该几何体为一个长方 体中挖去一个圆柱构成，几何体的表面积 S＝长方体表面积＋圆柱的侧面积－圆柱的上下 底面面积，由三视图知，长方体的长、宽、高为 4、3、1，圆柱的底面圆的半径为 1，高为 1，所以 S＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＋2π×1×1－2×π×12＝38. 3.[2012·北京卷] 某三棱锥的三视图如图 1－4 所示，该三棱锥的表面积是( ) A．28＋6 5 B．30＋6 5 C．56＋12 5 D．60＋12 5 答案：B [解析] 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式．由三视图可知，几何体为一 个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知 S 底面＝1 2×5×4＝10， S 后＝1 2×5×4＝10，S 左＝1 2×6×2 5＝6 5，S 右＝1 2×4×5＝10，所以 S 表＝10×3＋6 5＝30 ＋6 5. 4.[2012·安徽卷] 某几何体的三视图如图 1－3 所示，该几何体的表面积是________． 图 1－3 答案：92 [解析] 本题考查三视图的识别，四棱柱等空间几何体的表面积． 如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积为 S＝1 2×(2＋5)×4×2＋4×2＋5×4＋4×4＋5×4＝92. 5. [2012·天津卷] 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 ________m3. 答案：18＋9π [解析] 本题考查几何体的三视图及体积公式，考查运算求解及空间想象力， 容易题．由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体，其体积 V＝6×3×1＋ 2×4 3π× 3 2 3＝18＋9π. 6.[2012·福建卷] 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 ( )A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 答案：D [解析] 本题考查简单几何体的三视图，大小、形状的判断以及空间想象能力， 球的三视图大小、形状相同．三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有 圆柱不同． 7. [2012·广东卷] 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( ) A．12π B．45πC．57π D．81π 答案：C [解析] 根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成，圆柱与 圆锥的半径 R＝3，圆锥的高 h＝4，圆柱的高为 5，所以 V 组合体＝V 圆柱＋V 圆锥＝π×32×5＋ 1 3×π×32×4＝57π，所以选择 C. 8. [2012·湖北卷] 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.8π 3 B．3πC.10π 3 D．6π 答案：B [解析] 根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以 V＝ 2π＋1 2×2π＝3π.故选 B. 9.[2012·湖南卷] 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是 ( ) 答案：D [解析] 本题考查三视图，意在考查考生对三视图的辨析，以及对三视图的理解 和掌握．是基础题型. 选项 A，B，C，都有可能，选项 D 的正视图应该有看不见的虚线， 故 D 项是不可能的． [易错点] 本题由于对三视图的不了解，易错选 C，三视图中看不见的棱应该用虚线标 出． 10. [2012·课标全国卷] 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三 视图，则此几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 答案：B [解析] 由三视图可知，该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为 6 的等腰直角三 角形，有一条长为 3 的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是 3)，可知底面等腰直角三角形斜边 上的高为 3，故该几何体的体积是 V＝1 3×1 2×6×3×3＝9，故选 B. 11.[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于 ________cm3. 答案：1 [解析] 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查 学生对数据的运算处理能力和空间想象能力．由三视图可知，几何体为一个三棱锥，则 V ＝1 3Sh＝1 3×1 2×1×3×2＝1. [点评] 正确的识图是解决三视图问题的关键，同时要注意棱长的长度、关系等． 2011 年高考题 1. (2011 年高考山东卷理科 11)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题： ①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主) 视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其 中真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A 【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以. 2.(2011 年高考浙江卷理科 3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以 是 4.(2011 年高考安徽卷理科 6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A） 48 (B)32+8  (C) 48+8  (D) 80 【答案】C 【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法. 【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2，下底 为 4，高为 4，。故 S                表 【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。 5.(2011 年高考辽宁卷理科 12)已知球的直径 SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB= 3 ，  30BSCASC ，则棱锥 S-ABC 的体积为（ ） （A） 33 （B） 32 （C） 3 （D）1 第 6 题图 答案：D 解析：由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体， 所以，左视图是 D. 点评：本题考查三视图、直观图及他们之间的互化，同时也考查空间想象能力和推理能力， A B C D 要求有扎实的基础知识和基本技能。 10.(2011 年高考广东卷理科 7)如图．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左 视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ） A. 6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3 【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱， .ABCDEA 平面 393123 2  hSV ABCD平行四边形 。所以选 B 11.(2011 年高考陕西卷理科 5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （A） 28 3  （B）8 3  （C）8 2 （D） 2 3  【答案】A 【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥， 立方体棱长为 2，圆锥底面半径为 1、高为 2， 15. (2011 年高考全国卷理科 11)已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 060 ，二面角的平面  截该球面得圆 N， 若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为 (A) 7 (B)9 (c)11 (D)13 【答案】D 【 解 析 】： 由 圆 M 的 面 积 为 4 得 2MA  ， 2 2 24 2 12OM    2 3OM  ，在 030Rt ONM OMN  中, 21 3, 3 132ON OM    2r= 4 13NS  圆 故选 D 16．(2011 年高考北京卷理科 7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中， 最大的是 A．8 B． 6 2 C．10 D．8 2 【答案】C 1.(2011 年高考辽宁卷理科 15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 32 ，它 的 三 视 图 中 的 俯 视 图 如 右 图 所 示 ， 左 视 图 是 一 个 矩 形 ， 则 这 个 矩 形 的 面 积 是 ____________. 2. (2011 年高考全国新课标卷理科 15)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球O 的球面 上，且 6, 2 3AB BC  ,则棱锥O ABCD 的体积为 。 3．(2011 年高考天津卷理科 10)一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则这个几何 体的体积为__________ 3m 【答案】 6  【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为 3m,宽为 2m, 高 为 1m), 上 面 有 一 个 圆 锥 ( 底 面 半 径 为 1, 高 为 3), 所 以 其 体 积 为 13 2 1 3 63V V         长方体 圆锥 . 4. (2011 年高考四川卷理科 15)如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最 大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . 答案： 22 R 解析： 2 2 2 2 2 max2 2 4 ( )S r R r r R r S      侧 侧 时， 2 2 2 2 2 2 2 2 Rr R r r r R      ，则 2 2 24 2 2R R R    6．(2011 年高考福建卷理科 12)三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA=3，底面 ABC 是 边长为 2 的正三角形，则三棱锥 P-ABC 的体积等于______。 【答案】 3 7．(2011 年高考上海卷理科 7)若圆锥的侧面积为 2 ，底面积为 ，则该圆锥的体积 为 。 【答案】 3 3  ； 三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 19)（本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， ∠ ACB=90 ，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ， ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小． 【解析】（Ⅰ)连结 AF,因为 EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ， EF∩ＦＧ=F,所以平面 EFG∥平面 ABCD,又易证 EFG ∽ ABC , 所以 1 2 FG EF BC AB   ,即 1 2FG BC ,即 1 2FG AD ,又 M 为 AD 的中点,所以 1 2AM AD ,又因为ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD，所以ＦＧ∥ＡM,所以四边形 AMGF 是 平行四边形,故 GM∥FA,又因为ＧＭ  平面ＡＢＦＥ,FA  平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面 ＡＢＦＥ. 2010 年高考题 一、选择题 1.（2010 全国卷 2 理）（9）已知正四棱锥 S ABCD 中， 2 3SA  ， 那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A）1 （B） 3 （C）2 （D） 3 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题. 【 解 析 】 设 底 面 边 长 为 a ， 则 高 所 以 体 积 ， 设 ，则 ，当 y 取最值时， ，解得 a=0 或 a=4 时，体积最大，此时 ，故选 C. 2.（2010 陕西文） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积是 [B] （A）2 （B）1 （C） 2 3 （D） 1 3 【答案】 B 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为 12212 1  3.（2010 辽宁文）（11）已知 , , ,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC 平面 ，AB BC ， 1SA AB  ， 2BC  ，则球O 的表面积等于 （A）4 （B）3 （C）2 （D） 【答案】A 【解析】选 A.由已知，球O 的直径为 2 2R SC  ，表面积为 24 4 .R  4.（2010 安徽文）（9）一个几何体的三视图如图，该几 何体的表面积是 （A）372 （B）360 （C）292 （D）280 【答案】B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于 2 2 1 下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。 2(10 8 10 2 8 2) 2(6 8 8 2) 360S            . 【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体 的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积 加上面长方体的 4 个侧面积之和。 5.（2010 重庆文）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （A）只有 1 个 （B）恰有 3 个 （C）恰有 4 个 （D）有无穷多个 【答案】 D 【解析】放在正方体中研究,显然，线段 1OO 、EF、FG、GH、 HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等， 所以排除 A、B、C，选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等 6.（2010 浙江文）（8）若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的体积是 （A） 352 3 cm3 （B） 320 3 cm3 （C） 224 3 cm3 （D）160 3 cm3 【答案】B 【解析】选 B，本题主要考察了对三视图所表达示的 空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 7.（2010 北京文）（8）如图，正方体 1 1 1 1ABCD-A B C D 的棱长为 2，动点 E、F 在棱 1 1A B 上。点 Q 是 CD 的中点，动点 P 在棱 AD 上，若 EF=1，DP=x， 1A E=y(x,y 大于零)， 则三棱锥 P-EFQ 的体积： （A）与 x，y 都有关； （B）与 x，y 都无关； （C）与 x 有关，与 y 无关； （D）与 y 有关，与 x 无关； 【答案】 C 8.（2010 北京文）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该 集合体的俯视图为： 答案：C 9.（2010 北京理）(8)如图，正方体 ABCD- 1 1 1 1A B C D 的棱长为 2， 动点 E、F 在棱 1 1A B 上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1， 1A E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体 PEＦＱ 的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 【答案】D 10.（2010 北京理）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几 何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何 体的俯视图为 【答案】 C 11.（2010 广东理）6.如图 1，△ ABC 为三角形， AA // BB //CC , CC ⊥平面 ABC 且 3 AA = 3 2 BB =CC =AB,则多面体△ABC - A B C   的正视图（也称主视图）是 【答案】D 12.（2010 广东文） 13.（2010 福建文）3．若一个底面是正三角形的三棱柱 的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ) A． 3 B．2 C． 2 3 D．6 【答案】D 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为 32 4 2 34    ，侧面积为3 2 1 6   ，选 D． 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基 本能力。 14.（2010 全国卷 1 文）（12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这 个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有 ABCD 1 1 22 23 2 3V h h     四面体 ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, 2 2 max 2 2 1 2 3h    , 故 max 4 3 3V  二、填空题 1.（2010 上海文）6.已知四棱椎 P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA  底 面 ABCD ，且 8PA  ，则该四棱椎的体积是 。 【答案】96 【解析】考查棱锥体积公式 968363 1 V 2.（2010 湖南文）13.图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm2 的几何体的三视图，则 h= cm 【答案】4 3.（2010 浙江理）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积 是___________ 3cm . 解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中 所给公式计算得体积为 144，本题主要考察了对三视图所表达示 的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 4.（2010 辽宁文）（16）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗 线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的 长为 . 解析：填 2 3 画出直观图：图中四棱锥 P ABCD 即是， 所以最长的一条棱的长为 2 3.PB  5.（2010 辽宁理）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是 1， 在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的 一条棱的长为______. P D C B A 【答案】 2 3 【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力 以及由三视图还原物体的能力。 【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为 2 的正方 形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长 为 2 2 22 2 2 2 3   6.（2010 天津文）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个 几何体的体积为 。 【答案】3 【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算， 属于容易题。 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图 可知该几何体的高为 1，结合三个试图可知该几何体是底面为直 角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为 1 + =2  （1 2） 2 1 3 【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可 以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是 长为 3，宽为 2，高为 1 的长方体的一半。 7.（2010 天津理）（12）一个几何体的三视图如图所 示，则这个几何体的体积为 【答案】10 3 【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体 积的计算，属于容易题。 由三视图可知，该几何体为一个底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥 组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为 2，正四棱锥的体积为 1 44 13 3    ，所以该几何体 的体积 V=2+ 4 3 = 10 3 【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何 体的形状，求锥体体积时不要丢掉 1 3 哦。 三、解答题 1.（2010 上海文）20.（本大题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形 骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧 面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到 0.01 平方米）; (2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作 出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l1.22r(0