2019年高考数学练习题汇总解答题滚动练3(A) 6页

解答题滚动练3(A)‎ ‎1.已知△ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足a＋＋4cos C＝0，b＝1.‎ ‎(1)若△ABC的面积为，求a；‎ ‎(2)若A＝，求△ABC的面积.‎ 解　(1)由S＝absin C＝asin C＝，得asin C＝，即sin C＝.‎ 又a＋＝－4cos C，‎ 那么2＝16cos2C＝16(1－sin2C)＝16－，‎ 即a4－14a2＋49＝0，得到a2＝7，即a＝.‎ ‎(2)由题意有a＋＝－4cos C及余弦定理cos C＝，‎ 则a＋＝－4·＝－，‎ 即a2＋1＝c2，①‎ 又由b2＋c2－a2＝2bccos A，可知c2－a2＋1＝c，②‎ 由①②得到c2－3c＋6＝0，亦即(c－)(c－2)＝0，可知c＝或c＝2.‎ 经检验知，c＝或c＝2均符合题意.‎ 那么△ABC的面积为S＝bcsin A＝或 .‎ ‎2.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人.将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？‎ 网购迷 非网购迷 总计 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 总计 ‎(2)若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.‎ 附：K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 解　(1)由题意可得列联表如下：‎ 网购迷 非网购迷 总计 年龄不超过40岁 ‎20‎ ‎45‎ ‎65‎ 年龄超过40岁 ‎5‎ ‎30‎ ‎35‎ 总计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，‎ 则K2＝≈3.297＞2.706.‎ 所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关.‎ ‎(2)由频数分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2，‎ P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎3.在几何体ABCDE中，CD∥AE，∠EAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC，CD＝2EA＝2，AB＝AC＝2，BC＝2，F为BD的中点.‎ ‎(1)证明：EF∥平面ABC；‎ ‎(2)求直线AB与平面BDE所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　取BC的中点G，连接FG，AG，‎ ‎∵F为BD的中点，CD＝2EA，CD∥AE，‎ ‎∴FG＝CD＝EA，且FG∥AE，‎ ‎∴四边形AGFE是平行四边形，∴EF∥AG，‎ ‎∵EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.‎ ‎(2)解　∵∠EAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC，‎ 且平面EACD∩平面ABC＝AC，EA⊂平面EACD，‎ ‎∴EA⊥平面ABC，‎ 由(1)知FG∥AE，∴FG⊥平面ABC，‎ 又∵AB＝AC，G为BC的中点，∴AG⊥BC，‎ 如图，以G为坐标原点，分别以GA，GB，GF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A(1，0，0)，B(0，，0)，D(0，－，2)，E(1，0，1)，‎ ‎∴＝(－1，，0)，＝(0，－2，2)，＝(1，－，1)，‎ 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 令y＝1，得n＝(0，1，)，‎ ‎∴直线AB与平面BDE所成角的正弦值为＝.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中，点F1(－，0)，圆F2：x2＋y2－2x－13＝0，以动点P 为圆心的圆经过点F1，且圆P与圆F2内切.‎ ‎(1)求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎(2)若直线l过点(1，0)，且与曲线E交于A，B两点，则在x轴上是否存在一点D(t，0)(t≠0)，使得x轴平分∠ADB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)圆F2的方程可化为(x－)2＋y2＝16，‎ 故圆心F2(，0)，半径r＝4，‎ 而|F1F2|＝2<4，所以点F1在圆F2内.‎ 又由已知得圆P的半径R＝|PF1|，‎ 由圆P与圆F2内切，可得圆P内切于圆F2，‎ 即|PF2|＝4－|PF1|，‎ 所以|PF1|＋|PF2|＝4>|F1F2|，‎ 故点P的轨迹即曲线E是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆.‎ 显然c＝，a＝2，所以b2＝＝1，‎ 故曲线E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 当直线AB的斜率不为0且存在时，设直线l：x＝ny＋1，‎ 代入x2＋4y2－4＝0，得(n2＋4)y2＋2ny－3＝0，‎ Δ＝16(n2＋3)>0恒成立.‎ 由根与系数的关系，可得y1＋y2＝，y1y2＝，‎ 设直线DA，DB的斜率分别为k1，k2，‎ 则由∠ODA＝∠ODB，得k1＋k2＝＋＝ ‎＝＝＝0.‎ 所以2ny1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0，‎ 将y1＋y2＝，y1y2＝ 代入得－6n－2n＋2nt＝0，‎ 因此n(t－4)＝0，故存在t＝4满足题意.‎ 当直线AB的斜率为0时，直线为x轴，取A(－2，0)，B(2，0)，满足∠ODA＝∠ODB，‎ 当直线AB的斜率不存在时，取A，B，满足∠ODA＝∠ODB.‎ 综上，在x轴上存在一点D(4，0)，使得x轴平分∠ADB.‎ ‎5.已知函数f(x)＝x2＋acos x，g(x)是f(x)的导函数.‎ ‎(1)若f(x)在处的切线方程为y＝x－，求a的值；‎ ‎(2)若a≥0且f(x)在x＝0处取得最小值，求a的取值范围.‎ 解　(1)f′(x)＝x－asin x，f′＝－a＝，‎ ‎∴a＝－1，经验证a＝－1符合题意.‎ ‎(2)设g(x)＝f′(x)＝x－asin x，‎ 则g′(x)＝1－acos x.‎ ‎①当a＝0时，f(x)＝x2，显然在x＝0处取得最小值，‎ ‎∴a＝0符合题意；‎ ‎②当a＞0时，‎ ‎(ⅰ)当≥1，即0＜a≤1时，g′(x)≥0恒成立，‎ ‎∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，又g(0)＝0，‎ ‎∴当x＜0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，当x＞0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，‎ ‎∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴f(x)在x＝0处取得最小值，‎ ‎∴当0＜a≤1时，符合题意；‎ ‎(ⅱ)当0＜＜1，即a＞1时，在(0，π)内存在唯一x0使g′(x)＝0，即cos x0＝.‎ 当x∈(0，x0)时，∵y＝cos x在(0，π)上单调递减，‎ ‎∴cos x＞cos x0＝，‎ ‎∴g′(x)＝a＜0，‎ ‎∴g(x)在(0，x0)上单调递减，‎ ‎∴g(x)＜g(0)＝0，即f′(x)＜0，‎ ‎∴f(x)在(0，x0)上单调递减，‎ ‎∴当x∈(0，x0)时，f(x)＜f(0)，‎ 这与f(x)在x＝0处取得最小值，即f(x)≥f(0)矛盾，‎ ‎∴当a＞1时不合题意.‎ 综上，a的取值范围是[0，1].‎ ‎6.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝‎ ‎2.‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程；‎ ‎(2)在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值.‎ 解　(1)由ρ＝2，得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ＋1)，‎ 所以x2＋y2＝2x＋2y＋2，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，‎ 故曲线C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(2)由(1)可设点P的坐标为(1＋2cos θ，1＋2sin θ)，θ∈[0，2π)，则矩形OAPB的面积为 S＝|(1＋2cos θ)(1＋2sin θ)|＝|1＋2sin θ＋2cos θ＋4sin θcos θ|.‎ 令t＝sin θ＋cos θ＝sin∈[－，]，‎ t2＝1＋2sin θcos θ，‎ S＝＝，‎ 故当t＝时，Smax＝3＋2.‎