2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线（教师版） 10页

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线 一、选择题 ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【 解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，‎ 所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选 B． ‎ ．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 D．‎ ．（2013北京西城高三二模数学理科）已知正六边形的边长是,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】 B; ‎ ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）抛物线(>)的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为 ‎,则的最大值为 （　　）‎ A． B．‎1 ‎C． D．2‎ ‎【答案】A ‎ ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于直线l:y=k (x+1)与抛物线C:y2= 4x,k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的( )条件 （　　）‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎ ．（2013届北京海滨一模理科）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 二、填空题 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么_______.‎ ‎【答案】答案4抛物线的焦点坐标为,准线方程为.因为直线的倾斜角为,所以,又,所以.因为,所以,代入,得,所以. ‎ ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为___,若点在抛物线 上运动,点在直线上运动,则的最小值等于____.‎ ‎【答案】 ‎ ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））直线与抛物线相切于点. 若的横坐标为整数,那么的最小值为______.‎ ‎【答案】 1 ‎ ．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系中，点与点关于原点对称．点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______．‎ ‎【答案】； ‎ 三、解答题 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值．‎ ‎【答案】解：（I）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为， 则所以椭圆的方程为……5分 ‎（II）当直线斜率存在时，设直线方程为，‎ 则由 ‎ 消去得，， …………………6分 ‎， ①…………7分 设点的坐标分别为，则：‎ ‎，…………8分 由于点在椭圆上，所以 . ……… 9分 从而，化简得，经检验满足①式. ‎ ‎………10分 又点到直线的距离为：‎ ‎ ………11分 ‎ 当且仅当时等号成立 ………12分 当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，‎ 从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 . ‎ 所以点到直线的距离最小值为 . ………13分 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））如图,已知,两点分别在轴和轴上运动,并且满足,. ‎ ‎(Ⅰ)求动点的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若正方形的三个顶点在点的轨迹上,求正方形面积的最小值.‎ ‎【答案】解:(I) ‎ ‎ ‎ 由已知则 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中在轴的下方(包括轴), ‎ 记的坐标分别为,其中 ‎ 并设直线的斜率为 ‎ B A C D O y x ‎ ‎ 则有① ‎ 又因为在抛物线上,故有 ‎ 代入①式得 ‎ ‎② ‎ 因为 ‎ 即 ‎ 所以 ‎ 所以将②代入可得: ‎ ‎ ‎ 即, ‎ 得 ‎ 正方形的边长为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 易知, 所以 ‎ 所以正方形ABCD面积的最小值为. ‎ ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，‎ 两点，直线，分别与抛物线交于点，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）解：依题意，设直线的方程为． ………………1分 将其代入，消去，整理得 ． ………………4分 从而． ………………5分 ‎（Ⅱ）证明：设，． ‎ 则 ． ………………7分 设直线的方程为，将其代入，消去，‎ 整理得 ． ………………9分 所以 ． ………………10分 同理可得 ． ………………11分 故． ………………13分 由（Ⅰ）得 ，为定值． ………………14分 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））动圆过点且在轴上截得的线段长为,记动圆圆心轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知是曲线上的两点,且,过两点分别作曲线的切线,设两条切线交于点,求△面积的最大值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)设圆心坐标为,那么,化简得 ‎ ‎(Ⅱ)解法一:设 ‎ 设直线PQ的方程为,代入曲线C的方程得, ‎ 所以 ‎ 因为,所以 ‎ 所以, ‎ 过P、Q两点曲线C的切线方程分别为 ‎ 两式相减,得 ‎ ‎,, ‎ 代入过P点曲线C的切线方程得, ‎ ‎, ‎ 即两条切线的交点M的坐标为(),所以点M到直线PQ的距离为 ‎ ‎ ‎ 当时, ,此时的面积的取最大值 ‎ 解法二: 设,则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为 ‎ ‎ ‎ 两式相减得, ‎ ‎,, ‎ 代入过P点曲线C的切线方程得, ‎ ‎, ‎ 即两条切线的交点M的坐标为(,) ‎ 设PQ中点为C,则C的坐标为(,),所以MC平行于y轴,所以 ‎ ‎ ‎ 设点M到直线PQ的距离为d,那么(当且仅当时等号成立) . ‎ 又因为,所以, ‎ 即,. ‎ 所以 (当且仅当时等号成立) . ‎ 因此,, ‎ 所以的面积的最大值为. ‎ ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）将代入，得 所以抛物线方程为，焦点坐标为 ………………3分 ‎（Ⅱ）设，，，‎ 法一：‎ 因为直线不经过点，所以直线一定有斜率 设直线方程为 与抛物线方程联立得到 ，消去，得：‎ 则由韦达定理得：‎ ‎ ………………6分 直线的方程为：，即，‎ 令，得 ………………9分 同理可得： ………………10分 又 ，‎ 所以 ‎　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　 　　　　 　　　 　 ………………13分 所以，即为定值 ………………14分 法二：‎ 设直线方程为 与抛物线方程联立得到 ，消去，得：‎ 则由韦达定理得：‎ ‎ ………………6分 直线的方程为：，即，‎ 令，得 ………………9分 同理可得： ………………10分 又 ，‎ ‎　　　　　　‎ ‎ ‎ ‎ ………………12分 所以，即为定值 ………………13分