高考数学复习练习第1部分 专题一 第六讲 第一课时 预测演练提能 4页

‎1．设函数f(x)＝mx3＋(4＋m)x2，g(x)＝aln(x－1)，其中a≠0.‎ ‎(1)若函数y＝g(x)的图像恒过定点P，且点P关于直线x＝的对称点在y＝f(x)的图像上，求m的值；‎ ‎(2)当a＝8时，设F(x)＝f′(x)＋g(x＋1)，讨论F(x)的单调性．‎ 解：(1)令ln(x－1)＝0，则x＝2，∴函数y＝g(x)恒过点(2,0)．‎ 又点P(2,0)关于x＝的对称点为(1,0)，‎ ‎∴由题设条件得f(1)＝0，即m＋(4＋m)＝0，解得m＝－3.‎ ‎(2)由题意知，f′(x)＝mx2＋2(4＋m)x，g(x＋1)＝8ln x，‎ 故F(x)＝mx2＋2(4＋m)x＋8ln x，x∈(0，＋∞)，‎ F′(x)＝2mx＋(8＋‎2m)＋＝＝.‎ ‎∵x>0，x＋1>0，∴当m≥0时，2mx＋8>0，F′(x)>0，‎ 此时F(x)在(0，＋∞)上为增函数；‎ 当m<0时，由F′(x)>0得0－，‎ 此时F(x)在上为增函数，在上为减函数．‎ 综上，当m≥0时，F(x)在(0，＋∞)上为增函数；‎ 当m<0时，F(x)在上为增函数，在上为减函数．‎ ‎2．(2013·四川高考)已知函数f(x)＝其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1＜x2.‎ ‎(1)指出函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；‎ ‎(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．‎ 解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．‎ ‎(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.‎ 当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.‎ 因为x1＜x2＜0，所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，‎ 所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.‎ 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1，‎ 当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立．‎ 所以函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.‎ ‎(3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.‎ 当x1＜0时，函数f(x)的图像在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，‎ 即y＝(2x1＋2)x－x＋a.‎ 当x2＞0时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.‎ 两切线重合的充要条件是 由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0.‎ 由①②得，a＝x＋ln －1＝x－ln(2x1＋2)－1.‎ 设h(x1)＝x－ln(2x1＋2)－1(－1＜x1＜0)，‎ 则h′(x1)＝2x1－＜0.‎ 所以h(x1)(－1＜x1＜0)是减函数．‎ 则h(x1)＞h(0)＝－ln 2－1，‎ 所以a＞－ln 2－1.‎ 又当x1∈(－1,0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大，‎ 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．‎ 故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．‎ ‎3．(2013·太原模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax2－x(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝2时，求y＝f(x)的单调区间和极值；‎ ‎(2)若y＝f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝2时，f(x)＝ln x－x2－x，‎ 其定义域为(0，＋∞)，‎ ‎∴f′(x)＝－2x－1＝－＝－.‎ ‎∵令f′(x)>0，则0，‎ ‎∴是f(x)的单调递增区间，是f(x)的单调递减区间，‎ 当x＝时，y＝f(x)取极大值－－ln 2.‎ ‎(2)∵f(x)＝ln x－ax2－x，‎ ‎∴f′(x)＝－ax－1＝－(x>0)．‎ ‎∵y＝f(x)存在单调递减区间，‎ ‎∴f′(x)<0在(0，＋∞)上有解，‎ 又∵x>0，则ax2＋x－1>0在(0，＋∞)上有解，‎ ‎①当a＝0时，x>1在(0，＋∞)上有解；‎ ‎②当a>0时，ax2＋x－1>0在(0，＋∞)上总有解；‎ ‎③当a<0时，要使ax2＋x－1>0在(0，＋∞)上有解，‎ 只需ax2＋x－1＝0有两个不相等正实数根，‎ ‎∴解得－0)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间和极值；‎ ‎(2)已知对任意的x>0，ax(2－ln x)≤1恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：由题意知x>0，f′(x)＝－(a>0)．‎ ‎(1)由f′(x)>0解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间是；‎ 由f′(x)<0解得x<，所以函数f(x)的单调递减区间是.‎ 所以当x＝时，函数f(x)有极小值f＝aln ＋a＝a－aln a.‎ ‎(2)设g(x)＝ax(2－ln x)＝2ax－axln x，则函数g(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ g′(x)＝‎2a－＝a－aln x.‎ 由g′(x)＝0，解得x＝e.‎ 由a>0可知，当x∈(0，e)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；‎ 当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．‎ 所以函数g(x)的最大值为g(x)的极大值g(e)＝ae(2－ln e)＝ae.‎ 要使不等式恒成立，只需g(x)的最大值不大于1即可，即g(e)≤1，‎ 也就是ae≤1，解得a≤.‎ 又因为a>0，所以01时，函数f(x)在[1，e]上为增函数，故函数f(x)的最小值为f(1)＝aln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．‎ ‎②当1≤≤e，即≤a≤1时，函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，‎ 故函数f(x)的最小值为f(x)的极小值f＝aln ＋a＝a－aln a＝a(1－ln a)＝0，即ln a＝1，解得a＝e，不满足条件．‎ ‎③当>e，即0