高考数学专题复习练习：单元质检六A 4页

单元质检六　数列(A)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第14页　 ‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)‎ ‎1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=15,S9=99,则等差数列{an}的公差是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎4‎ B.4 C.-4 D.-3‎ 答案B 解析∵{an}是等差数列,a6=15,S9=99,‎ ‎∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.‎ ‎∴公差d=a6-a5=4.‎ ‎2.公比为‎3‎‎2‎的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 答案B 解析由等比中项的性质得a3a11=a‎7‎‎2‎=16,又数列{an}各项为正,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.‎ ‎3.(2016河北衡水中学考前仿真二)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,且a‎6‎a‎5‎‎=‎‎9‎‎11‎,当Sn取最大值时,n的值为(　　)‎ A.9 B.10 C.11 D.12〚导学号74920685〛‎ 答案B 解析不妨设a6=9t,则a5=11t,故公差d=-2t,其中t>0.‎ 因此a10=t,a11=-t,‎ 即当n=10时,Sn取最大值,故选B.‎ ‎4.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:3a1-a‎8‎‎2‎+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=(　　)‎ A.9 B.12 C.16 D.36‎ 答案D 解析由3a1-a‎8‎‎2‎+3a15=0得a‎8‎‎2‎=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即a‎8‎‎2‎-6a8=0,因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17=b‎10‎‎2‎=36.‎ ‎5.(2016陕西汉中市质检二)设Sn是数列{an}的前n项和,当n≥2时,点(an-1,2an)在直线y=2x+1上,且{an}的首项a1是二次函数y=x2-2x+3的最小值,则S9的值为(　　)‎ A.6 B.7 C.36 D.32〚导学号74920686〛‎ 答案C 解析由点(an-1,2an)在直线y=2x+1上,得2an=2an-1+1,an-an-1=‎1‎‎2‎,故数列{an}是公差为‎1‎‎2‎的等差数列.‎ 由函数y=x2-2x+3的最小值为2,‎ 得a1=2,故S9=9×2+‎1‎‎2‎×9×8×‎1‎‎2‎=36.‎ ‎6.(2016河北保定一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数列{an}满足a1=‎1‎‎2‎,且an+1=‎1‎‎1-‎an,则f(a11)=(　　)‎ A.2 B.-2 C.6 D.-6〚导学号74920687〛‎ 答案C 解析设x>0,则-x<0.‎ 因为f(x)是定义在R上的奇函数,‎ 所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).‎ 由a1=‎1‎‎2‎,且an+1=‎1‎‎1-‎an,‎ 得a2=‎1‎‎1-‎a‎1‎‎=‎‎1‎‎1-‎‎1‎‎2‎=2,‎ a3=‎1‎‎1-‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎1-2‎=-1,‎ a4=‎1‎‎1-‎a‎3‎‎=‎1‎‎1-(-1)‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎……‎ 所以数列{an}是以3为周期的周期数列,即a11=a3×3+2=a2=2.‎ 所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎7.(2016河北唐山一模)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,且Sn=2an-1,则数列{an}的公比q=　　　　　. ‎ 答案2‎ 解析∵Sn=2an-1,∴a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得a1=1,a2=2.∴等比数列{an}的公比q=2.‎ ‎8.已知等比数列{an}满足a2+8a5=0,设Sn是数列‎1‎an的前n项和,则S‎5‎S‎2‎=　　　　　　　.〚导学号74920688〛 ‎ 答案-11‎ 解析由a2+8a5=0得a1q+8a1q4=0,解得q=-‎1‎‎2‎.‎ 易知‎1‎an是等比数列,公比为-2,首项为‎1‎a‎1‎,所以S2=‎1‎a‎1‎‎[1-(-2‎)‎‎2‎]‎‎1-(-2)‎=-‎1‎a‎1‎,S5=‎1‎a‎1‎‎[1-(-2‎)‎‎5‎]‎‎1-(-2)‎‎=‎‎11‎a‎1‎,所以S‎5‎S‎2‎=-11.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)(2016河南郑州一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=5,S4=28.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和T2n.‎ 解(1)由已知条件可知a‎2‎‎=a‎1‎+d=5,‎S‎4‎‎=4a‎1‎+‎4×3‎‎2‎×d=28,‎ 解得a‎1‎‎=1,‎d=4.‎故an=a1+(n-1)×d=4n-3.‎ ‎(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3),‎ 则T2n=-1+5-9+13-17+…+(8n-3)=4×n=4n.‎ ‎10.(15分)(2016河南八市重点高中4月质检)数列{an}满足an=6-‎9‎an-1‎(n∈N*,n≥2).‎ ‎(1)求证:数列‎1‎an‎-3‎是等差数列;‎ ‎(2)若a1=6,求数列{lg an}的前999项的和.‎ ‎(1)证明∵‎1‎an‎-3‎‎-‎1‎an-1‎‎-3‎=an-1‎‎3an-1‎-9‎-‎1‎an-1‎‎-3‎=an-1‎‎-3‎‎3an-1‎-9‎=‎‎1‎‎3‎(n≥2),∴数列‎1‎an‎-3‎是等差数列.‎ ‎(2)解∵‎1‎an‎-3‎是等差数列,且‎1‎a‎1‎‎-3‎‎=‎‎1‎‎3‎,d=‎1‎‎3‎.‎ ‎∴‎1‎an‎-3‎‎=‎1‎a‎1‎‎-3‎+‎‎1‎‎3‎(n-1)=n‎3‎.‎ ‎∴an=‎3(n+1)‎n.‎ ‎∴lg an=lg(n+1)-lg n+lg 3.‎ 设数列{lg an}的前999项的和为S,‎ 则S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 1 000-lg 999)=999lg 3+lg 1 000=3+999lg 3.‎ ‎11.(15分)设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解(1)由已知,当n≥1时,‎ an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1‎ ‎=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.‎ 而a1=2,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.‎ ‎(2)由bn=nan=n·22n-1知 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①‎ 从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②‎ ‎①-②,得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,‎ 即Sn=‎1‎‎9‎[(3n-1)22n+1+2].〚导学号74920689〛‎