高考数学复习练习第1部分 专题五 第三讲 第二课时 预测演练提能 5页

‎1.(2013·重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．‎ 解：(1)设该椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1，又e＝，故b2＝＝8，从而a2＝＝16.‎ 故该椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8×＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4,4])．‎ 设P(x1，y1)，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，当x＝x1时|QM|2取最小值，又x1∈(－4，4)，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.‎ 由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，‎ 所以S＝|2y1||x1－x0|＝×2 |x0|＝＝ 故当x0＝±时，△PP′Q的面积S取得最大值2.‎ 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±，0)，半径|QP|＝＝，‎ 因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.‎ ‎2.如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．‎ 解：(1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy(c>0)，‎ 则＝，结合c>0，解得c＝1.‎ 所以抛物线C的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2.‎ 所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.‎ 同理，可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.‎ 因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0.‎ 所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．‎ 所以直线AB的方程为x0x－2y0－2y＝0.‎ ‎(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，‎ 所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1.‎ 联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，‎ 由根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，‎ 所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.‎ 又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2.‎ 所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝22＋.‎ 所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.‎ ‎5.如图，经过点P(2,3)，且中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)若椭圆M的弦PA，PB所在直线分别交x轴于点C，D，且|PC|＝|PD|，求证：直线AB的斜率为定值．‎ 解：设椭圆M的方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 则＋＝1，且e2＝＝，‎ 解得a2＝16，b2＝12.‎ 故椭圆M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：由题意知，直线PA的斜率必存在，故设直线PA的方程为y＝k(x－2)＋3，A(xA，yA)，B(xB，yB)，由|PC|＝|PD|可知，直线PB的方程为y＝－k(x－2)＋3.‎ 由方程组可得(4k2＋3)x2－8k(2k－3)x＋4(2k－3)2－48＝0.　①‎ 又方程①有一实根为2，故另一实根为＝＝，‎ 故xA＝.‎ 同理，xB＝.‎ 所以xA＋xB＝，xA＋xB－4＝－，‎ xA－xB＝.‎ 所以直线AB的斜率kAB＝＝＝，即直线AB的斜率为定值．‎ ‎6．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．‎ 解：(1)由题意设椭圆的标准方程为：‎ ＋＝1(a>b>0)．‎ 由已知得a＋c＝3，a－c＝1，‎ 所以a＝2，c＝1，‎ 所以b2＝a2－c2＝3，‎ 因此椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，则 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)‎ ‎＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝.‎ 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，‎ 所以kADkBD＝－1，即·＝－1.‎ 故y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.‎ 即＋＋＋4＝0.‎ 则‎7m2‎＋16mk＋4k2＝0.‎ 解得m＝－2k，或m＝－，且均满足3＋4k2－m2>0.‎ 当m＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；‎ 当m＝－时，l的方程为 y＝k，直线过定点.‎ 所以，直线l过定点，定点坐标为.‎