2019版一轮复习理数通用版“空间几何体”双基过关检测 4页

“空间几何体”双基过关检测 一、选择题 1．如图所示，若 P 为正方体 ABCDA1B1C1D1 中 AC1 与 BD1 的交点，则△PAC 在该正 方体各个面上的射影可能是( ) A．①②③④ B．①③ C．①④ D．②④ 解析：选 C 由题意，得△PAC 在底面 ABCD，A1B1C1D1 上的射影如图①所示，△PAC 在其余四个侧面上的射影如图④所示，故选 C. 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x 轴．已知四边形 ABCD 的面积为 2 2 cm2，则原 平面图形的面积为( ) A．4 cm2 B．4 2 cm2 C．8 cm2 D．8 2 cm2 解析：选 C 依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与 BC， AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 2倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2. 3．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马； 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA⊥平面 ABC， PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ( ) A．8π B．12π C．20π D．24π 解析：选 C 如图，由题意得 PC 为球 O 的直径，而 PC＝ 22＋42＝2 5， 即球 O 的半径 R＝ 5，所以球 O 的表面积 S＝4πR2＝20π.选 C. 4．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的 长度为( ) A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2 解析：选 B 在正方体中还原该四棱锥如图所示， 从图中易得最长的棱为 AC1＝ AC2＋CC21＝ 22＋22＋22＝2 3. 5．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) A．60 B．30 C．20 D．10 解析：选 D 如图，把三棱锥 ABCD 放到长方体中，长方体的长、 宽、高分别为 5,3,4，△BCD 为直角三角形，直角边分别为 5 和 3，三棱锥 ABCD 的高为 4， 故该三棱锥的体积 V＝1 3 ×1 2 ×5×3×4＝10. 6．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球 的表面积为( ) A.81π 4 B．16π C．9π D.27π 4 解析：选 A 如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt△AOF 中， (4－r)2＋( 2)2＝r2，解得 r＝9 4 ，所以该球的表面积为 4πr2＝4π× 9 4 2 ＝81π 4 . 7．(2018·南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为 2 的 正三角形，侧视图是有一条直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( ) 解析：选 C 由已知条件得直观图如图所示，PC⊥底面 ABC，正视图是直角三角形， 中间的线是看不见的线 PA 形成的投影，应为虚线，故选 C. 8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为 4，该几何体的体积为 V1，直径为 4 的球的体积为 V2，则 V1∶V2＝( ) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶1 D．1∶4 解析：选 A 由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥， 因此 V1＝8π－8π 3 ＝16π 3 ，V2＝4π 3 ×23＝32π 3 ，V1∶V2＝1∶2. 二、填空题 9．(2017·山东高考)由一个长方体和两个1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几 何体的体积为________． 解析：该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1 的四分之一圆柱体构成， ∴V＝2×1×1＋2×1 4 ×π×12×1＝2＋π 2. 答案：2＋π 2 10.已知某四棱锥，底面是边长为 2 的正方形，且俯视图如图所示．若 该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________． 解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为 O(如图)， 又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为 BC＝2， 斜边上的高为 SO＝1，此高即为四棱锥的高， 故 V＝1 3 ×2×2×1＝4 3. 答案：4 3 11．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器 ——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取 3，其体积为 12.6(单位：立方寸)， 则图中的 x 的值为________． 解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，左侧是一个底面直径为 2r＝1、高为 x 的圆柱，右侧是一个长、宽、高分别为 5.4－x,3,1 的长方体，则该几何体的体积 V＝(5.4－ x)×3×1＋π×1 4 ×x＝12.6，解得 x＝1.6. 答案：1.6 12．某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线 段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a＋b 的 最大值为________． 解析：构造长方体，则其体对角线长为 7，其在侧视图中为侧面对角线 a，在俯视图中 为底面对角线 b，设长方体底面宽为 1，则 b2－1＋a2－1＝6，则 a2＋b2＝8，利用不等式 a＋b 2 ≤a2＋b2 2 ＝4，则 a＋b≤4，当且仅当 a＝b＝2 时取等号，即 a＋b 的最大值为 4. 答案：4 三、解答题 13．已知正三棱锥 V ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示． (1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得 BC＝2 3， ∴侧视图中 VA＝ 42－ 2 3 × 3 2 ×2 3 2＝2 3， ∴S△VBC＝1 2 ×2 3×2 3＝6. 14．(2018·大庆质检)如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积． 解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥． (2)其侧视图如图所示，其中 AB＝AC，AD⊥BC，且 BC 的长是俯视图 中的正六边形对边的距离，即 BC＝ 3a，AD 的长是正六棱锥的高， 即 AD＝ 3a， 故该平面图形的面积 S＝1 2 × 3a× 3a＝3 2a2. (3)该几何体的体积 V＝1 3 ×6× 3 4 a2× 3a＝3 2a3.