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- 2021-06-10 发布
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学业分层测评(十)
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5=( )
A.7 B.15
C.20 D.25
【解析】 S5=5×a1+a5
2
=5×a2+a4
2
=5×6
2
=15.
【答案】 B
2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若a5
a3
=5
9
,则S9
S5
等于( )
A.1 B.-1
C.2 D.1
2
【解析】 S9
S5
=
9
2
a1+a9
5
2
a1+a5
=9×2a5
5×2a3
=9a5
5a3
=9
5
×5
9
=1.
【答案】 A
3.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n 等于
( )
A.9 B.10
C.11 D.12
【解析】 ∵a3+a5=2a4=14,∴a4=7.
d=a4-a1
3
=2,
Sn=na1+nn-1
2 ·d
=n+nn-1
2
×2=n2=100,
∴n=10.
【答案】 B
4.(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,
若 S8=4S4,则 a10=( )
A.17
2 B.19
2 C.10 D.12
【解析】 ∵公差为 1,
∴S8=8a1+8×8-1
2
×1=8a1+28,S4=4a1+6.
∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6),解得 a1=1
2
,
∴a10=a1+9d=1
2
+9=19
2 .故选 B.
【答案】 B
5.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( )
A.15 B.12
C.-12 D.-15
【解析】 a1+a2+…+a10
=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)
=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]
=3×5=15.
【答案】 A
二、填空题
6.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前 5 项和 S5=10,则其公差为 d
= .
【解析】 a4+a6=a1+3d+a1+5d=6,①
S5=5a1+1
2
×5×(5-1)d=10,②
由①②联立解得 a1=1,d=1
2.
【答案】 1
2
7.{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a7=5,S7=21,则 S10= .
【解析】 设公差为 d,则由已知得 S7=7a1+a7
2
,即 21=7a1+5
2
,解得
a1=1,所以 a7=a1+6d,所以 d=2
3.所以 S10=10a1+10×9
2 d=10+10×9
2
×2
3
=40.
【答案】 40
8.若数列
1
nn+1 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=19
20
,则 n= . 【导学号:
05920068】
【解析】 Sn= 1
1×2
+ 1
2×3
+…+ 1
nn+1
=1-1
2
+1
2
-1
3
+1
3
-1
4
+…+1
n
-
1
n+1
=1- 1
n+1
= n
n+1.
由已知得 n
n+1
=19
20
,
解得 n=19.
【答案】 19
三、解答题
9.等差数列{an}中,a10=30,a20=50.
(1)求数列的通项公式;
(2)若 Sn=242,求 n.
【解】 (1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d.
则 a10=a1+9d=30,
a20=a1+19d=50,
解得 a1=12,
d=2,
∴an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n.
(2)由 Sn=na1+nn-1
2 d 以及 a1=12,d=2,Sn=242,
得方程 242=12n+nn-1
2
×2,即 n2+11n-242=0,解得 n=11 或 n=-
22(舍去).故 n=11.
10.在我国古代,9 是数学之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中
包含许多与 9 相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如
图 232 所示),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第 1 圈有 9 块石板,从
第 2 圈开始,每 1 圈比前 1 圈多 9 块,共有 9 圈,则:
图 232
(1)第 9 圈共有多少块石板?
(2)前 9 圈一共有多少块石板?
【解】 (1)设从第 1 圈到第 9 圈石板数所成数列为{an},由题意可知{an}是
等差数列,其中 a1=9,d=9,n=9.
由等差数列的通项公式,得第 9 圈石板块数为:
a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块).
(2)由等差数列前 n 项和公式,得前 9 圈石板总数为:
S9=9a1+9×9-1
2 d=9×9+9×8
2
×9=405(块).
答:第 9 圈共有 81 块石板,前 9 圈一共有 405 块石板.
[能力提升]
1.如图 233 所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有
n(n>1,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为 an,则 a2+a3+a4+…+an 等于
( )
图 233
A.3n2
2 B.nn+1
2
C.3nn-1
2 D.nn-1
2
【解析】 由图案的点数可知 a2=3,a3=6,a4=9,a5=12,所以 an=3n
-3,n≥2,
所以 a2+a3+a4+…+an=n-13+3n-3
2
=3nn-1
2 .
【答案】 C
2.已知命题:“在等差数列{an}中,若 4a2+a10+a( )=24,则 S11 为定值”
为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为( )
A.15 B.24
C.18 D.28
【解析】 设括号内的数为 n,则 4a2+a10+a(n)=24,
∴6a1+(n+12)d=24.
又 S11=11a1+55d=11(a1+5d)为定值,
所以 a1+5d 为定值.
所以n+12
6
=5,n=18.
【答案】 C
3.(2015·安徽高考)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+1
2(n≥2),则数列{an}
的前 9 项和等于 .
【解析】 由 a1=1,an=an-1+1
2(n≥2),可知数列{an}是首项为 1,公差为
1
2
的等差数列,故 S9=9a1+9×9-1
2
×1
2
=9+18=27.
【答案】 27
4.(2015·全国卷Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,a2n+2an=4Sn+
3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设 bn= 1
anan+1
,求数列{bn}的前 n 项和.
【解】 (1)由 a2n+2an=4Sn+3, ①
可知 a2n+1+2an+1=4Sn+1+3. ②
②-①,得 a2n+1-a2n+2(an+1-an)=4an+1,
即 2(an+1+an)=a2n+1-a2n=(an+1+an)(an+1-an).
由 an>0,得 an+1-an=2.
又 a21+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.
所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.
(2)由 an=2n+1 可知
bn= 1
anan+1
= 1
2n+12n+3
=1
2
1
2n+1
- 1
2n+3 .
设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn=
1
2
1
3
-1
5 +
1
5
-1
7 +…+
1
2n+1
- 1
2n+3
= n
32n+3.
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