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  • 2021-06-10 发布

黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题

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哈尔滨市第六中学2018级高三 上学期期中考试 理科数学 试卷 一、单选题(每题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数(为虚数单位),则等于( )‎ A.3 B. C.2 D.‎ ‎3.下列说法中正确的个数是( )‎ ‎(1)命题“所有幂函数的图象经过点”.‎ ‎(2)“在中,若,则”的逆否命题是真命题.‎ ‎(3)若非零向量满足,则与的夹角为锐角.‎ ‎(4)命题“,”的否定是“,”.‎ ‎(5)命题“则是的充分不必要条件”.‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎4.已知函数是定义域为的奇函数,当时,,且, ‎ 则( )‎ 9‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设、是两条不同的直线,、是两个不重合的平面,给定下列四个命题:‎ ‎①若,,则; ②若,,则;‎ ‎③若,,则; ④若,,,则.‎ 其中真命题是( )‎ A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④‎ ‎6.函数的大致图像为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数,若函数的图象向左平移个单位长度后得到 函数的图象,则函数的图象的一个对称中心为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图,已知正三棱柱的各条棱长都是1,是的中点,‎ 则异面直线与所成角的大小是( )‎ 9‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数的最小正周期为,‎ 则时,函数的值域是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.我们把叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学家),‎ 设,表示数列的前项之和,‎ 则使不等式成立的最大正整数的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13.数列中,若,,则 ‎ ‎14.已知,成等差数列,成等比数列,则的最小值是 ‎ 9‎ ‎15.三棱锥中,、、两两互相垂直,且,‎ 则三棱锥的外接球的表面积是___________‎ ‎16.在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,,‎ ‎,点在边上,且,则线段长度的最小值为 ‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17.在中,角、、的对边分别是、、,若.‎ ‎(1)求角;‎ ‎(2)若的面积为,,求的周长.‎ ‎18.在数列中,,对,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎19.如图,在三棱柱中,四边形是菱形,‎ 四边形是正方形,,,‎ ‎,点为的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求点到平面的距离.‎ ‎20.如图,在六面体ABCDEF中,AB//CD,AB⊥AD,且,四边形ADEF ‎ 9‎ 是正方形,平面ADEF⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明:平面BCE⊥平面BDE;‎ ‎(2)若中,,求二面角的余弦值.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)当时,恒成立,求k的取值范围;‎ ‎(3)设n,求证:.‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面 直角坐标系,直线过点,倾斜角为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与曲线交于,两点,求的值.‎ ‎23.设 ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)对任意的实数,有恒成立,求实数的取值范围.‎ 9‎ 一、单选题 ‎1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.B 7.B 8.D 9.D 10.A 11.A 12.A 二、填空题 ‎13.61 14.4 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.(1)由正弦定理得:,‎ ‎∵,∴,∵是的内角,∴.‎ ‎(2)∵的面积为,∴,由(1)知,∴,‎ 由余弦定理得:,‎ ‎∴,得:,∴的周长为.‎ ‎18.(1),,又,‎ 数列是首项、公差均为1的等差数列.,所以;‎ ‎(2)由(1)得,,.‎ ‎19.(1)略; (2)由点为的中点,且点平面可知,‎ 点到平面的距离与点到平面的距离相等,‎ 由四边形是正方形,,可得是三棱锥的高,‎ 9‎ 由题意得,,所以,‎ 在△CDG中,,‎ 设点A到平面CDG的距离为h,则,‎ 由得,,所以点F到平面CDG的距离为.‎ ‎20.(1)略;‎ ‎(2)由(1)知、、,以点为坐标原点,为轴,为轴,‎ 为轴建立空间直角坐标系,如图. 可得、、、,‎ 故,,,设为平面的一个法向量,‎ 则,得,同理可得平面的一个法向量为,‎ ‎,‎ 二面角的是钝二面角,所以二面角的余弦值为.‎ ‎21.(1)当时,,,由,解得;由,解得,因此函数单调递增区间为,单调递减区间为. ‎ ‎(2),故.‎ 9‎ ‎ 当时,因为,所以,因此恒成立,即在上单调递增,所以恒成立. 当时,令,解得.‎ 当,,单调递增;当,,单调递减;‎ 于是,与恒成立相矛盾. 综上,k的取值范围为. ‎ ‎(3)由(2)知,当时,. 令,则+,即 因此≤. 所以.‎ ‎22.(Ⅰ) , , ,‎ 曲线的直角坐标方程为:,直线过点,倾斜角为,‎ 直线的参数方程为:(t为参数).‎ ‎(Ⅱ)把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得:,‎ 化简得:,,,,‎ 由题意得:点在圆的外侧下方,,,.‎ 9‎ ‎23.(1),‎ 令 当时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 综上所述 ‎(2)恒成立等价于 ‎(当且仅当时取等)‎ 恒成立,‎ 9‎