2019年高考数学练习题汇总高考填空题分项练6　函数与导数 6页

高考填空题分项练6　函数与导数 ‎1．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　∵y＝＝1＋，∴y′＝－.‎ ‎∴曲线在点(3,2)处的切线斜率k＝－.‎ ‎∴－a＝2，即a＝－2.‎ ‎2．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．‎ 答案　4‎ 解析　依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，‎ 所以f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.‎ ‎3．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　∵f′(x)＝，且函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立，∴a≤.‎ 当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．‎ ‎∴a<.‎ ‎4．已知a≤＋ln x对任意x∈恒成立，则a的最大值为________．‎ 答案　0‎ 解析　令f(x)＝＋ln x，x∈，‎ 则f′(x)＝，‎ 当x∈时，f′(x)<0，当x∈[1,2]时，f′(x)≥0，‎ ‎∴f(x)在上单调递减，在[1,2]上单调递增，‎ ‎∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a的最大值为0.‎ ‎5．若函数f(x)＝x3＋mx2－m2x＋1(m为常数，且m>0)有极大值9，则m的值是________．‎ 答案　2‎ 解析　由f′(x)＝3x2＋2mx－m2＝(x＋m)(3x－m)＝0，得x＝－m或x＝m，‎ 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－m)‎ ‎－m m f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  从而可知，当x＝－m时，函数f(x)取得极大值9，‎ 即f(－m)＝－m3＋m3＋m3＋1＝9，解得m＝2.‎ ‎6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．‎ 答案　(0,1)‎ 解析　f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．‎ 当a≤0时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．‎ 当a>0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．‎ 当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；‎ 当x∈(－，)时，f(x)单调递减，‎ 所以当0<<1，即00在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立．‎ 对于①式，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意．‎ 经验证，②③④均不符合题意．‎ ‎8．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是_____．‎ 答案　－ 解析　∵f′(x)＝3x2－3x，‎ 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.‎ ‎∴在[－1,1]上，当x∈[－1,0)时，f′(x)>0，‎ 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，‎ ‎∴x＝0是f(x)的极大值点，也是最大值点，‎ ‎∴f(x)max＝f(0)＝a＝2，‎ ‎∴f(x)＝x3－x2＋2.‎ 又f(－1)＝－，f(1)＝，‎ ‎∴f(x)在[－1,1]上的最小值为－.‎ ‎9．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－2,2)‎ 解析　令f(x)＝0，得a＝3x－x3，‎ 于是y＝a和y＝3x－x3应有3个不同交点，‎ 令y＝g(x)＝3x－x3，则g′(x)＝3－3x2.‎ 由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－1，‎ ‎∴g(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，‎ ‎∴当x＝－1时，g(x)取得极小值－2，当x＝1时，g(x)取得极大值2.‎ 画出y＝3x－x3的图象如图，若y＝a和y＝3x－x3有3个不同交点，则－20，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为 a≥－.‎ 设g(x)＝－，x∈(0,1]，则g′(x)＝.‎ 所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ 因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；‎ 当x<0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，‎ 因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.所以a＝4.‎ ‎11．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元．如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________千米/时．‎ 答案　20‎ 解析　设航速为v千米/时(0≤v≤30)，每小时的燃料费为m元，则m＝kv3，‎ ‎∵当v＝10时，m＝25，代入上式，得k＝，‎ 则总费用y＝·m＋×400＝20v2＋，‎ ‎∴y′＝40v－.令y′＝0，得v＝20.‎ 经判断知当v＝20时，y最小．‎ ‎12．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 答案　②③‎ 解析　方法一　由f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，‎ 得f′(x)＝3x2－12x＋9.‎ 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.‎ 当x<1时，f′(x)>0；‎ 当13时，f′(x)>0.‎ ‎∴当x＝1时，f(x)有极大值，‎ 当x＝3时，f(x)有极小值．‎ ‎∵函数f(x)有三个零点，‎ ‎∴f(1)>0，f(3)<0，‎ 且a<10，得a>0，因此f(0)0.‎ 故正确结论的序号是②③.‎ 方法二　由题设知f(x)＝0有3个不同零点．如图所示．‎ 设g(x)＝x3－6x2＋9x，‎ ‎∴f(x)＝g(x)－abc，f(x)有3个零点，需将g(x)的图象向下平移至如图所示位置．‎ 观察图象可知，f(0)f(1)<0且f(0)f(3)>0.‎ 故②③正确．‎ ‎13．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)．‎ ‎14．(2018·苏州模拟)如果函数y＝f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1，x2，x3，满足|xi－2|f(xi)＝1(i＝1,2,3)，则称函数f(x)具有性质Ω.已知函数f(x)＝aex具有性质 Ω，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　 解析　由题意知，若f(x)具有性质Ω，则在定义域内|x－2|f(x)＝1有3个不同的实数根，‎ ‎∵ f(x)＝aex，∴ ＝|x－2|·ex，‎ 即方程＝|x－2|·ex在R上有3个不同的实数根．‎ 设g(x)＝|x－2|·ex＝ 当x≥2时，g′(x)＝(x－1)·ex>0，即g(x)在[2，＋∞)上单调递增；‎ 当x<2时，g′(x)＝(1－x)·ex，g(x)>0，‎ ‎∴g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．‎ 又∵ g(1)＝e，g(2)＝0，‎ ‎∴方程＝|x－2|·ex在R上有3个不同的实数根即函数g(x)与y＝的图象有3个交点．‎ ‎∴0<.‎