高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的 11页

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的 运算法则(二) [学习目标] 1．理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的 导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接] 前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做 起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求 f(x)＝5 和 g(x)＝1.05x 等基 本初等函数的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则 法则 语言叙述 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或 差) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函 数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 fx gx ′＝f′xgx－fx·g′x [gx]2 (g(x)≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘 上分母的导数，再除以分母的平方 2．复合函数的求导法则 复合函数 的概念 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数， 那么称这个函数为 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)) 复合函数的求导法则 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1) y＝x3－2x＋3； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x－lg x. 解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1. (3)函数 y＝3x－lg x 是函数 f(x)＝3x 与函数 g(x)＝lg x 的差．由导数公式表分别得 出 f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝ 1 xln 10 ，利用函数差的求导法则可得 (3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－ 1 xln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系 基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转 化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练 1 求下列函数的导数： (1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－1 x2. 解 (1)y′＝－12x2； (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； (3)y′＝ex x ＋ex·ln x； (4)y′＝ 1 xln 10 ＋2 x3. 要点二 求复合函数的导数 例 2 求下列函数的导数： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝(1＋sin x)2； 解 (1)y＝ln u，u＝x＋2 ∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1 u·1＝ 1 x＋2. (2)y＝u2，u＝1＋sin x， ∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(1＋sin x)′ ＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)． 规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构． (2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体． (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练 2 (1)y＝e2x＋1； (2)y＝( x－2)2. 解 (1)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)法一 ∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4， ∴y′＝x′－(4 x)′＋4′ ＝1－4×1 2x－1 2 ＝1－ 2 x. 法二 令 u＝ x－2， 则 yx′＝yu′·ux′＝2( x－2)·( x－2)′＝ 2( x－2) 1 2· 1 x －0 ＝1－ 2 x. 要点三 导数的应用 例 3 求过点(1，－1)与曲线 f(x)＝x3－2x 相切的直线方程． 解 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x20－2 故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0) ① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0 ② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)． 解得 x0＝1 或 x0＝－1 2. 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－5 4(x－1)． 即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0. 规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该 点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练 3 已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)＝t－1 t2 ＋2t2(位移单位：m， 时间单位：s)，求 t＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s(t)＝t－1 t2 ＋2t2＝ t t2 －1 t2 ＋2t2＝1 t －1 t2 ＋2t2， ∴s′(t)＝－1 t2 ＋2·1 t3 ＋4t， ∴s′(3)＝－1 9 ＋ 2 27 ＋12＝323 27 ， 即物体在 t＝3 s 时的瞬时速度为323 27 m/s. 1．下列结论不正确的是( ) A．若 y＝3，则 y′＝0 B．若 f(x)＝3x＋1，则 f′(1)＝3 C．若 y＝－ x＋x，则 y′＝－ 1 2 x ＋1 D．若 y＝sin x＋cos x，则 y′＝cos x＋sin x 答案 D 解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. 2．函数 y＝cos x 1－x 的导数是( ) A. －sin x＋xsin x 1－x2 B ． xsin x－sin x－cos x 1－x2 C ． cos x－sin x＋xsin x 1－x2 D ． cos x－sin x＋xsin x 1－x 答案 C 解析 y′＝ cos x 1－x ′＝－sin x1－x－cos x·－1 1－x2 ＝cos x－sin x＋xsin x 1－x2 . 3．曲线 y＝ x x＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案 A 解析 ∵y′＝x′x＋2－xx＋2′ x＋22 ＝ 2 x＋22 ， ∴k＝y′|x＝－1＝ 2 －1＋22 ＝2， ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1. 4．直线 y＝1 2x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数 b＝________. 答案 ln 2－1 解析 设切点为(x0，y0)， ∵ y′＝1 x ，∴1 2 ＝1 x0 ， ∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝1 2 ×2＋b，∴b＝ln 2－1. 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法 则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算 法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适 当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、 瞬时速度等问题. 一、基础达标 1．设 y＝－2exsin x，则 y′等于( ) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案 D 解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)． 2．当函数 y＝x2＋a2 x (a>0)在 x＝x0 处的导数为 0 时，那么 x0＝( ) A．a B．±a C．－a D．a2 答案 B 解析 y′＝ x2＋a2 x ′＝2x·x－x2＋a2 x2 ＝x2－a2 x2 ， 由 x20－a2＝0 得 x0＝±a. 3．设曲线 y＝x＋1 x－1 在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a 等于( ) A．2 B．1 2 C．－1 2 D．－2 答案 D 解析 ∵y＝x＋1 x－1 ＝1＋ 2 x－1 ， ∴y′＝－ 2 x－12.∴y′|x＝3＝－1 2. ∴－a＝2，即 a＝－2. 4．已知曲线 y＝x3 在点 P 处的切线斜率为 k，则当 k＝3 时的 P 点坐标为( ) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D． －1 2 ，－1 8 答案 B 解析 y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1， 则 P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．设函数 f(x)＝g(x)＋x2，曲线 y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为 y＝2x＋1， 则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________． 答案 4 解析 依题意得 f′(x)＝g′(x)＋2x， f′(1)＝g′(1)＋2＝4. 6．已知 f(x)＝1 3x3＋3xf′(0)，则 f′(1)＝________. 答案 1 解析 由于 f′(0)是一常数，所以 f′(x)＝x2＋3f′(0)， 令 x＝0，则 f′(0)＝0， ∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝x－sin x 2cos x 2. 解 (1)法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9. 法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3， ∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝x－sin x 2cos x 2 ＝x－1 2sin x， ∴y′＝x′－ 1 2sin x ′＝1－1 2cos x. 二、能力提升 8．曲线 y＝ sin x sin x＋cos x －1 2 在点 M π 4 ，0 处的切线的斜率为( ) A．－1 2 B．1 2 C．－ 2 2 D． 2 2 答案 B 解 析 y′ ＝ cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin x sin x＋cos x2 ＝ 1 sin x＋cos x2 ， 故 y′| x＝π 4 ＝1 2 ， ∴曲线在点 M π 4 ，0 处的切线的斜率为1 2. 9．已知点 P 在曲线 y＝ 4 ex＋1 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则α的取值 范围是( ) A．[0，π 4) B．[π 4 ，π 2) C．(π 2 ，3π 4 ] D．[3π 4 ，π) 答案 D 解析 y′＝－ 4ex ex＋12 ＝－ 4ex e2x＋2ex＋1 ，设 t＝ex∈(0，＋∞)，则 y′＝－ 4t t2＋2t＋1 ＝－ 4 t＋1 t ＋2 ，∵t＋1 t ≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[3π 4 ，π)． 10．(2013·江西)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1)＝________. 答案 2 解析 令 t＝ex，则 x＝ln t，所以函数为 f(t)＝ln t＋t，即 f(x)＝ln x＋x，所以 f′(x) ＝1 x ＋1，即 f′(1)＝1 1 ＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线 y＝x3 相切的直线方程． 解 点(2,0)不在曲线 y＝x3 上，可令切点坐标为(x0，x30)．由题意，所求直线方程 的斜率 k＝x30－0 x0－2 ＝y′|x＝x0＝3x20，即 x30 x0－2 ＝3x20，解得 x0＝0 或 x0＝3. 当 x0＝0 时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k＝0，则所求直线方程是 y＝0； 当 x0＝3 时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k＝27， 则所求直线方程是 y－27＝27(x－3)， 即 27x－y－54＝0. 综上，所求的直线方程为 y＝0 或 27x－y－54＝0. 12．已知曲线 f(x)＝x3－3x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x0，y0)， 则由导数定义得切线的斜率 k＝f′(x0)＝3x20－3， ∴切线方程为 y＝(3x20－3)x＋16， 又切点(x0，y0)在切线上， ∴y0＝3(x20－1)x0＋16， 即 x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16， 解得 x0＝－2， ∴切线方程为 9x－y＋16＝0. 三、探究与创新 13．设函数 f(x)＝ax－b x ，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－4y－12 ＝0. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形 的面积为定值，并求此定值． (1)解 由 7x－4y－12＝0 得 y＝7 4x－3. 当 x＝2 时，y＝1 2 ，∴f(2)＝1 2 ， ① 又 f′(x)＝a＋b x2 ， ∴f′(2)＝7 4 ， ② 由①，②得 2a－b 2 ＝1 2 a＋b 4 ＝7 4. 解之得 a＝1 b＝3 . 故 f(x)＝x－3 x. (2)证明 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋3 x2 知 曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝ 1＋3 x20 (x－x0)， 即 y－ x0－3 x0 ＝ 1＋3 x20 (x－x0)． 令 x＝0 得 y＝－6 x0 ，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为 0，－6 x0 . 令 y＝x 得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为1 2 |－6 x0||2x0| ＝6. 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积为定 值，此定值为 6.