高考数学一轮复习核心素养测评五十八10-9-1圆锥曲线中的定值与定点问题文含解析北师大版 3页

核心素养测评五十八　圆锥曲线中的定值与定点问题 ‎1.(2020·北京模拟)已知椭圆C:+y2=1(a>1)的离心率为. ‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)设直线l过点M(1,0)且与椭圆C相交于A,B两点.过点A作直线x=3的垂线,垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.‎ ‎【解析】(1)由题意可得, 解得a=,b=1,‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1 .‎ ‎(2)直线BD恒过x轴上的定点(2,0).证明如下:‎ ‎①当直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,‎ 不妨设A,B,D.‎ 此时,直线BD的方程为:y=(x-2),所以直线BD过定点(2,0).‎ ‎②当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),D(3,y1).‎ 由,得:(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.‎ 所以x1+x2=,x1x2=.……(*)‎ 直线BD的方程为:y-y1=(x-3),只需证明直线BD过点(2,0)即可.‎ 令y=0,得x-3=-,‎ 所以x==‎ - 3 -‎ ‎=‎ 即证=2,即证2-x1x2=3.‎ 将(*)代入可得2-x1x2=-==3.‎ 所以直线BD过点(2,0),‎ 综上所述,直线BD恒过x轴上的定点(2,0).‎ ‎2.(2020·上饶模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),离心率e=,点G(,1)在椭圆上. ‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)设点P是椭圆C上一点,左顶点为A,上顶点为B,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.‎ ‎【解析】(1)依题意得=,设c=t,则a=2t,b=t,‎ 由点G(,1)在椭圆上,有+=1,解得t=1,则a=2,b=,‎ 椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设P(x0,y0),M(0,m),N(n,0),‎ A(-2,0),B(0,),‎ 由A,P,M三点共线,则有kPA=kMA,‎ 即=,解得m=,‎ - 3 -‎ 则M,‎ 由B,P,N三点共线,有kPB=kNB,‎ 即=,解得n=,‎ 则N,‎ ‎|AN|·|BM|=·‎ ‎=·‎ ‎=‎ 又点P在椭圆上,满足+=1,‎ 即2+4=8,‎ 代入上式得|AN|·|BM|=‎ ‎==4,‎ 可知|AN|·|BM|为定值4.‎ - 3 -‎