高中数学人教a版选修1-1第二章圆锥曲线与方程学业分层测评8word版含答案 9页

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．点 A(a,1)在椭圆 x2 4 ＋ y2 2 ＝1的内部，则 a的取值范围是( ) A．－ 2＜a＜ 2 B．a＜－ 2或 a＞ 2 C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1 【解析】 ∵点 A(a,1)在椭圆 x2 4 ＋ y2 2 ＝1内部， ∴ a2 4 ＋ 1 2 ＜1.∴a2 4 ＜ 1 2 . 则 a2＜2，∴－ 2＜a＜ 2. 【答案】 A 2．已知直线 y＝kx＋1和椭圆 x2＋2y2＝1有公共点，则 k的取值范 围是( ) A．k＜－ 2 2 或 k＞ 2 2 B．－ 2 2 ＜k＜ 2 2 C．k≤－ 2 2 或 k≥ 2 2 D．－ 2 2 ≤k≤ 2 2 【解析】 由 y＝kx＋1， x2＋2y2＝1， 得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0. ∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0， 则 k≥ 2 2 或 k≤－ 2 2 . 【答案】 C 3．(2016·重庆高二检测)过椭圆 x2 4 ＋ y2 3 ＝1 的一个焦点 F作垂直于 长轴的弦，则此弦长为( ) A.3 4 B．3 C．2 3 D.8 3 3 【解析】 因为 F(±1,0)，所以过椭圆的焦点 F且垂直于长轴的弦 与椭圆的交点坐标为 ±1，±3 2 ，所以弦长为 3. 【答案】 B 4．直线 y＝x＋1 被椭圆 x2 4 ＋ y2 2 ＝1 所截得线段的中点的坐标是 ( ) A. 2 3 ， 5 3 B. 4 3 ， 7 3 C. － 2 3 ， 1 3 D. － 13 2 ，－ 17 2 【解析】 联立方程 y＝x＋1， x2 4 ＋ y2 2 ＝1， 消去 y，得 3x2＋4x－2＝0.设 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)． ∴x1＋x2＝－ 4 3 ，x0＝ x1＋x2 2 ＝－ 2 3 ，y0＝x0＋1＝1 3 ， ∴中点坐标为 － 2 3 ， 1 3 . 【答案】 C 5．经过椭圆 x2 2 ＋y2＝1的右焦点作倾斜角为 45°的直线 l，交椭圆 于 A、B两点，O为坐标原点，则OA→ ·OB→＝( ) 【导学号：26160041】 A．－3 B．－ 1 3 C．－ 1 3 或－3 D．±1 3 【解析】 椭圆右焦点为(1,0)， 设 l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把 y＝x－1代入 x2 2 ＋y2＝1， 得 3x2－4x＝0. ∴A(0，－1)，B 4 3 ， 1 3 ， ∴OA→ ·OB→＝－ 1 3 . 【答案】 B 二、填空题 6．直线 l过定点 A(－3,0)，则过点 A的直线与椭圆 x2 9 ＋ y2 4 ＝1的交 点个数为________． 【解析】 ∵A(－3,0)为椭圆长轴一个顶点， ∴当过点 A作椭圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)；当 过点 A作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填 1或 2. 【答案】 1或 2 7．已知动点 P(x，y)在椭圆 x2 25 ＋ y2 16 ＝1上，若 A点坐标为(3,0)，|AM→ | ＝1，且 PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是________． 【解析】 易知点 A(3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM→·AM→＝0， ∴AM→⊥PM→. ∴|PM→|2＝|A P→|2－|AM→|2＝|A P→|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点 A的距离最小，故|A P→|min＝2， ∴|PM→|min＝ 3. 【答案】 3 8．过椭圆 x2 5 ＋ y2 4 ＝1的右焦点作一条斜率为 2的直线与椭圆交于A， B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________． 【解析】 由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为 y＝2(x －1)，将其与 x2 5 ＋ y2 4 ＝1联立，消去 y，得 3x2－5x＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5 3 ，x1x2＝0， 所以|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋22· 5 3 2－4×0＝5 5 3 . 设原点到直线的距离为 d，则 d＝ |2| 12＋22 ＝ 2 5 . 所以 S△OAB＝ 1 2 |AB|·d＝1 2 × 5 5 3 × 2 5 ＝ 5 3 . 【答案】 5 3 三、解答题 9．已知椭圆 x2 4 ＋ y2 3 ＝1，直线 l：y＝4x＋1 2 ，若椭圆上存在两点 P、 Q关于直线 l对称，求直线 PQ的方程． 【解】 法一：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 kPQ＝－ 1 4 . 设 PQ所在直线方程为 y＝－ x 4 ＋b. 由 y＝－ x 4 ＋b， x2 4 ＋ y2 3 ＝1， 消去 y，得 13x2－8bx＋16b2－48＝0. ∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0. 解得 b2＜13 4 ，x1＋x2＝8b 13 ， 设 PQ中点为 M(x0，y0)，则有 x0＝ x1＋x2 2 ＝ 4b 13 ，y0＝－ 1 4 ·4b 13 ＋b＝12b 13 . ∵点M 4b 13 ， 12b 13 在直线 y＝4x＋1 2 上， ∴ 12b 13 ＝4·4b 13 ＋ 1 2 ，∴b＝－ 13 8 . 直线 PQ的方程为 y＝－ 1 4 x－13 8 ， 即 2x＋8y＋13＝0. 法二：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， M(x0，y0)是 PQ的中点． 则有 3x21＋4y21＝12， 3x22＋4y22＝12， 两式相减，得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0. ∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， ∴ 3x0 4y0 ＝－ y1－y2 x1－x2 ＝－kPQ. ∵kPQ＝－ 1 4 ，∴y0＝3x0. 代入直线 y＝4x＋1 2 ， 得 x0＝－ 1 2 ，y0＝－ 3 2 ， 则直线 PQ的方程为 y＋3 2 ＝－ 1 4 x＋1 2 ， 即 2x＋8y＋13＝0. 10．设 F1，F2分别是椭圆 E：x2＋y2 b2 ＝1(0＜b＜1)的左、右焦点， 过 F1的直线 l与 E相交 A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求|AB|； (2)若直线 l的斜率为 1，求 b的值． 【解】 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又 2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝4 3 . (2)直线 l的方程为 y＝x＋c，其中 c＝ 1－b2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B两点坐标满足方程组 y＝x＋c， x2＋y2 b2 ＝1， 化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 则由根与系数的关系，得 x1＋x2＝ －2c 1＋b2 ，x1x2＝ 1－2b2 1＋b2 . 因为直线 AB的斜率为 1， 所以|AB|＝ 2|x1－x2|， 即 4 3 ＝ 2|x1－x2|. 所以(x1＋x2)2－4x1x2＝8 9 ， 即 41－b2 1＋b22 － 41－2b2 1＋b2 ＝ 8b4 1＋b22 ＝ 8 9 ， 解得 b2＝1 2 或 b2＝－ 1 4 (舍去)， 又 b＞0，∴b＝ 2 2 . [能力提升] 1．已知椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的左焦点为 F，A(－a,0)，B(0，b) 为椭圆的两个顶点，若点F到 AB的距离为 b 7 ，则椭圆的离心率为( ) A.7－ 7 7 B.7－2 7 7 C.1 2 D.4 5 【解析】 直线 AB的方程是 x －a ＋ y b ＝1，即 bx－ay＋ab＝0.因为 点 F的坐标为(－c,0)，所以 |－bc＋ab| a2＋b2 ＝ b 7 ，化简，得 8c2－14ac＋5a2 ＝0，两端同除以 a2，得 8e2－14e＋5＝0，解得 e＝1 2 e＝5 4 舍去 . 【答案】 C 2．已知椭圆 C：x 2 2 ＋y2＝1的右焦点为 F，直线 l：x＝2，点 A∈l， 线段 AF交椭圆 C于点 B，若 F A→＝3F B→，则|A F→|＝( ) A. 2 B．2 C. 3 D．3 【解析】 设点 A(2，n)，B(x0，y0)． 由椭圆 C：x2 2 ＋y2＝1知 a2＝2，b2＝1， ∴c2＝1，即 c＝1，∴右焦点 F(1,0)． 由 F A→＝3F B→，得(1，n)＝3(x0－1，y0)． ∴1＝3(x0－1)且 n＝3y0. ∴x0＝4 3 ，y0＝1 3 n. 将 x0，y0代入 x2 2 ＋y2＝1，得 1 2 × 4 3 2＋ 1 3 n 2＝1.解得 n2＝1， ∴|A F→|＝ 2－12＋n2＝ 1＋1＝ 2. 【答案】 A 3．若直线 y＝kx＋1 与曲线 x＝ 1－4y2有两个不同的交点，则 k 的取值范围是________． 【解析】 由 x＝ 1－4y2，得 x2＋4y2＝1(x≥0)， 又∵直线 y＝kx＋1过定点(0,1)， 故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在 y轴右侧的部分有两个 公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时， k＝－ 3 2 ，则相交时 k＜－ 3 2 . 【答案】 －∞，－ 3 2 4．设椭圆 C：x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点为 F，过点 F的直线 l与 椭圆 C相交于 A，B两点，直线 l的倾斜角为 60°，A F→＝2F B→. (1)求椭圆 C的离心率； 【导学号：26160042】 (2)如果|AB|＝15 4 ，求椭圆 C的标准方程． 【解】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中 y1<0，y2>0. (1)直线 l的方程为 y＝ 3(x－c)， 其中 c＝ a2－b2. 联立，得 y＝ 3x－c， x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1， 消去 x，得(3a2＋b2)y2＋2 3b2cy－3b4＝0. 解得 y1＝ － 3b2c＋2a 3a2＋b2 ，y2＝ － 3b2c－2a 3a2＋b2 因为 A F→＝2F B→，所以－y1＝2y2， 即 3b2c＋2a 3a2＋b2 ＝2·－ 3b2c－2a 3a2＋b2 ， 得离心率 e＝c a ＝ 2 3 . (2)因为|AB|＝ 1＋1 3 |y2－y1|， 所以 2 3 ·4 3ab2 3a2＋b2 ＝ 15 4 . 由 c a ＝ 2 3 ，得 b＝ 5 3 a，所以 5 4 a＝15 4 ，所以 a＝3，b＝ 5. 所以椭圆 C的标准方程为 x2 9 ＋ y2 5 ＝1.