2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（九）解析几何中的基本问题 7页

课时达标训练(九) 解析几何中的基本问题 A组 ‎1．若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m＝________．‎ 解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1.‎ 答案：1‎ ‎2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____________．‎ 解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ 答案：(x－2)2＋y2＝9‎ ‎3．(2019·无锡期末)以双曲线－＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．‎ 解析：由题可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，双曲线中，c＝＝3，所以双曲线的右焦点的坐标为(3，0)，则抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以＝3，p＝6，所以抛物线的标准方程为y2＝12x.‎ 答案：y2＝12x ‎4．已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为________．‎ 解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－1)＋2，即kx－y－k＋2＝0.因为S△ABC＝CA·CB·sin∠ACB＝1，所以×××sin∠ACB＝1，所以sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以＝1，解得k＝，所以直线方程为3x－4y＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.‎ 答案：3x－4y＋5＝0或x＝1‎ ‎5．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．‎ 解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，|MA|＝＝＝4.设A(x，6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1，5]．‎ 答案：[1，5]‎ ‎6．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．‎ 解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝≤1，解得－≤k≤0，所以实数k的最小值为－.‎ 答案：－ ‎7．(2019·南京四校联考)已知圆O：x2＋y2＝1，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：y＝x－4(m≤x≤n，m＜n)上移动，过圆O上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，且满足∠APB＝60°，则n－m的最小值为________．‎ 解析：设M(a，a－4)(m≤a≤n)，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.连接MP，MB，则MB＝1，PB⊥MB.因为∠APB＝ 60°，所以∠MPB＝30°，所以MP＝2MB＝2，所以点P在以M为圆心，2为半径的圆上，连接OM，又点P在圆O上，所以点P为圆x2＋y2＝1与圆(x－a)2＋(y－a＋4)2＝4的公共点，所以2－1≤OM≤2＋1，即1≤≤3，得解得2－≤a≤2＋.所以n≥2＋，m≤2－，所以n－m≥.‎ 答案： ‎8．(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．‎ 解析：设点P(x0，y0)，则直线PA的方程为y＝(x＋1), 在y轴上的截距为，同理可得直线PB在y轴上的截距为－，由直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，得－×＝5，化简，得(x0－2)2＋y＝9(y0≠0)，所以点P的轨迹是以C(2，0)为圆心，3‎ 为半径的圆(点A(－1，0)，B(5，0)除外)，由题意知点P的轨迹与圆M恰有一个公共点，若A，B均不在圆M上，因此圆心距等于半径之和或差，则＝5，解得m＝±；或＝1，无解．若A或B在圆M上，易得m＝±，经检验成立．所以m的值为±或±.‎ 答案：±或± ‎9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．‎ 解析：由圆x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，所以圆心C(0，3)，半径r＝2.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即>2，即3a>2c，即e＝<，又e>1，故双曲线离心率的取值范围是.‎ 答案： ‎10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．‎ 解析：设∠PCA＝θ，θ∈，所以PQ＝2sin θ.又cos θ＝，AC∈[3，＋∞)，所以cos θ∈，所以cos2θ∈，sin2θ＝1－cos2θ∈，因为θ∈，所以sin θ∈，所以PQ∈.‎ 答案： ‎11．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知MN是⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则线段AB长度的最小值是________．‎ 解析：因为MN是⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点，所以PC＝r＝1，点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.圆心C到直线l：x－3y－5＝0的距离为＝.因为直线l上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，所以ABmin＝2＋2.‎ 答案：2＋2‎ ‎12．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C：(x－2)2＋y2＝2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为________．‎ 解析：法一：由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切．‎ 由题意得A(－2，0)，C(2，0)．若圆D与圆C外切，则DC－DA＝；若圆D与圆C内切，则DA－DC＝.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线－＝1上，即14x2－2y2＝7.又点D在直线l上，由得12x2－8x－15＝0，解得xD＝或xD＝－.所以xP＝2xD－xA＝2xD＋2＝5或xP＝.‎ 法二：由题意可得A(－2，0)，设P(a，a＋2)，则AP的中点M，AP＝，故以AP为直径的圆M的方程为＋＝.由题意得圆C与圆M相切(内切和外切)，故 ＝，解得a＝或a＝5.故点P的横坐标的取值集合为.‎ 答案： ‎13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点．若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为________．‎ 解析：设直线x＝m与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知△FAB的周长为2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因为F1A≥AH，故当F1A＝AH时，△FAB的周长最大，此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为，，所以△FAB的面积为·2c·，由条件得·2c·＝ab，即b2＋c2＝2bc，b＝c，从而椭圆的离心率为e＝.‎ 答案： ‎14．已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|＋|的取值范围为________．‎ 解析：因为A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，所以线段AB的中点H在圆O ‎：x2＋y2＝上，且|＋|＝2||.因为点P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，所以5－≤||≤5＋，即≤||≤，所以7≤2||≤13，从而|＋|的取值范围是[7，13]．‎ 答案：[7，13]‎ B组 ‎1．(2019·苏锡常镇四市一模)若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：法一：根据题意得，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得点C到直线l的距离为1，那么圆心O到直线l的距离不大于2，即≤2，解得－≤a≤，于是a的取值范围是.‎ 法二：因为△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，所以点C在以AB为直径的圆上，记圆心为M，半径为1，且CM⊥直线l，又点C也在圆O：x2＋y2＝1上，所以C是两圆的交点，即OM≤2，所以dOM＝≤2，解得－≤a≤，于是a的取值范围是.‎ 答案： ‎2．(2017·全国卷 Ⅰ )已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．‎ 解析：双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.‎ 答案： ‎3．(2019·江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)2＋(y＋k－4)2＝1上任一点P作圆C2：x2＋y2＝1的一条切线，切点为Q，则当|PQ|最小时，k＝________．‎ 解析：由题意得，圆C1与圆C2外离，如图．因为PQ为切线，所以PQ⊥C2Q，由勾股定理，得|PQ|＝，要使|PQ|最小，则需|PC2|最小．‎ 显然当点P为C1C2与圆C1的交点时，|PC2|最小，‎ 此时，|PC2|＝|C1C2|－1，所以当|C1C2|最小时，|PC2|就最小，|C1C2|＝＝≥2，‎ 当k＝2时，|C1C2|取最小值，即|PQ|最小．‎ 答案：2‎ ‎4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若AF＋BF＝4OF，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知 AF＝y1＋，BF＝y2＋，OF＝，‎ 由AF＋BF＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4OF＝2p，得y1＋y2＝p.‎ 联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，‎ 所以y1＋y2＝，所以＝p，‎ 即＝，故＝，‎ 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 答案：y＝±x ‎5．已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得·≤0，则线段EF长度的最大值是________．‎ 解析：过点C作CH⊥l于H，因为C到l的距离CH＝＝>2＝r，所以直线l与圆C 相离，故点P在圆C外．因为·＝||||cos∠APB≤0，所以cos∠APB≤0，所以≤∠APB<π，圆C上存在两点A，B使得∠APB∈，由于点P在圆C外，故当PA，PB都与圆C相切时，∠APB最大，此时若∠APB＝，则PC＝r＝2，所以PH＝＝＝，由对称性可得EFmax＝2PH＝.‎ 答案： ‎6．设抛物线x2＝4y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足AF＝2，已知P为抛物线准线上任一点，当PA＋PF取得最小值时，△PAF外接圆的半径为________．‎ 解析：由抛物线的方程x2＝4y可知F(0，1)，设A(x0，y0)，又由AF＝2，根据抛物线的定义可知AF＝y0＋＝y0＋1＝2，解得y0＝1，代入抛物线的方程，可得x0＝2，即A(2，1)．如图，作抛物线的焦点F(0，1)，关于抛物线准线y＝－1的对称点F1(0，－3)，连接AF1交抛物线的准线y＝－1于点P，此时能使得PA＋PF取得最小值，此时点P的坐标为(1，－1)，在△PAF中，AF＝2，PF＝PA＝，‎ 由余弦定理得cos∠APF＝＝，‎ 则sin∠APF＝.设△PAF的外接圆半径为R，‎ 由正弦定理得2R＝＝，所以R＝，‎ 即△PAF外接圆的半径R＝.‎ 答案：