2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海） 7页

‎2013年上海高考数学试题 ‎（文科）‎ ‎ ‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．不等式的解为 ． ‎ ‎2．在等差数列中，若，则 ．‎ ‎3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则 ．‎ ‎4．若，，则 ．‎ ‎5．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是 （结果用反三角函数值表示）．‎ ‎6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．‎ ‎7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则 ．‎ ‎8．方程的实数解为 ． ‎ ‎9．若，则 ． ‎ ‎10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则 ．‎ ‎11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．‎ ‎12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为 ．‎ ‎13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为 ．‎ ‎14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是 ．‎ 7‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．函数的反函数为，则的值是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎16．设常数，集合，．若，则的取值范围为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）‎ ‎（A）充分条件 （B）必要条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 ‎18．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（ ）‎ A．0 B． C．2 D．‎ 三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．‎ ‎19．（本题满分12分）如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．‎ ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元．‎ ‎（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；‎ ‎（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．‎ 7‎ ‎21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ ‎ 已知函数，其中常数．‎ ‎（1）令，判断函数的奇偶性并说明理由；‎ ‎（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值．‎ ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．‎ ‎ 已知函数．无穷数列满足．‎ ‎（1）若，求，，；‎ ‎（2）若，且，，成等比数列，求的值；‎ ‎（3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．‎ ‎23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．‎ ‎ 如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．‎ ‎（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；‎ ‎（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；‎ 7‎ ‎（3）求证：圆内的点都不是“型点”．‎ 参考答案 一、选择题 ‎1． ‎ ‎2．15 ‎ ‎3． ‎ ‎4．1 ‎ ‎5． ‎ ‎6．78 ‎ ‎7． ‎ ‎8． ‎ ‎9． ‎ ‎10． ‎ ‎11． ‎ ‎12． ‎ ‎13． ‎ ‎14． ‎ ‎15．A ‎16．B ‎ ‎17．A ‎18．D ‎19．‎ 7‎ ‎20．解：（1）每小时生产克产品，获利，‎ 生产千克该产品用时间为，所获利润为.‎ ‎（2）生产900千克该产品，所获利润为 所以，最大利润为元。‎ ‎21．法一：解：（1）‎ 是非奇函数非偶函数。‎ ‎∵，∴‎ ‎∴函数是既不是奇函数也不是偶函数。‎ ‎（2）时，，，‎ 其最小正周期 由，得，‎ 7‎ ‎∴，即 区间的长度为10个周期，‎ 若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；‎ 若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；‎ 故当时，21个，否则20个。‎ 法二：‎ ‎22．‎ 7‎ ‎23．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 7‎