【数学】2020届一轮复习北师大版解析几何大题部分作业 20页

‎1、已知圆和圆.‎ ‎（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设平面上的点满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）或 ‎（2）或 ‎【解析】‎ ‎（1）设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离，‎ 点到直线距离公式，得： ‎ 求直线的方程为：或，即或； ‎ 故有：，‎ 化简得：‎ 关于的方程有无穷多解，有：,或 ‎ 解之得：点P坐标为或。 ‎ ‎2、已知椭圆与抛物线共交点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．‎ ‎（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；‎ ‎（2）过抛物线上的点做抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．‎ ‎【答案】 ‎ ‎（1），‎ ‎（2）‎ ‎（2）显然，，由，消去，得，‎ 由题意知，得，‎ 由，消去，得，‎ 其中，化简得，‎ 又，得，解得．‎ 设，，则．‎ 由，得．∴的取值范围是．‎ ‎3、已知椭圆：的离心率，点，点 分别为椭圆的上顶点和左焦点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过定点的直线与椭圆交于两点（在之间）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎（1） （2）‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，‎ 设，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由于菱形对角线垂直，则，‎ 解得，‎ 即，，（当且仅当时，等号成立）.‎ 所以存在满足条件的实数，的取值范围为.‎ ‎4、已知椭圆．‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，求的值； ‎ ‎（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得， 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎（1） （2）（-1，0）‎ ‎5、在平面直角坐标系中，椭圆：的短轴长为，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标．‎ ‎【答案】‎ ‎（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为，‎ 所以解得，所以椭圆的方程为．‎ 在直角中，由，得，‎ 所以，解得，所以点的坐标为．‎ ‎6、已知点F是椭圆＋y2＝1（a>0）的右焦点，点M（m，0），N（0，n）分别是x轴，y轴上的动点，且满足·＝0.若点P满足＝2＋（O为坐标原点）．‎ ‎（1）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线OA，OB与直线x＝－a分别交于点S，T，试判断以线段ST为直径的圆是否经过点F？请说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）y2＝4ax （2）经过 ‎【解析】‎ ‎（1） ∵椭圆＋y2＝1（a>0）右焦点F的坐标为（a，0），‎ ‎∴＝（a，－n）．∵＝（－m，n），‎ ‎∴由·＝0，得n2＋am＝0.‎ 设点P的坐标为（x，y），由＝2＋，有（m，0）＝2（0，n）＋（－x，－y），‎ 代入n2＋am＝0，得y2＝4ax.即点P的轨迹C的方程为y2＝4ax.‎ 解法二：①当AB⊥x时，A（a，2a），B（a，－2a），则lOA：y＝2x，lOB：y＝－2x.‎ 由得点S的坐标为S（－a，－2a），则＝（－2a，－2a）．‎ 由得点T的坐标为T（－a，2a），则＝（－2a，2a）．‎ ‎∴·＝（－2a）×（－2a）＋（－2a）×2a＝0.‎ ‎②当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y＝k（x－a）（k≠0），A，B，‎ 同解法一，得·＝4a2＋.‎ 由得ky2－4ay－4ka2＝0，∴y1y2＝－4a2.‎ 则·＝4a2＋＝4a2－4a2＝0. ‎ 因此，以线段ST为直径的圆经过点F. ‎ ‎7、如图，已知抛物线C：y2＝x和⊙M：（x－4）2＋y2＝1，过抛物线C上一点H（x0，y0）‎ ‎（y0≥1）作两条直线与⊙M分别相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．‎ ‎（1）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；‎ ‎（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）－ （2）-11‎ 法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），‎ ‎∴∠AHB＝60°，可得kHA＝，kHB＝－，∴直线HA的方程为y＝x－4＋2，‎ 联立方程组得y2－y－4＋2＝0，‎ ‎∵yE＋2＝，∴yE＝，xE＝.‎ 同理可得yF＝，xF＝，∴kEF＝－.‎ ‎（2）法一：‎ 设点H（m2，m）（m≥1），HM2＝m4－7m2＋16，HA2＝m4－7m2＋15.‎ 以H为圆心，HA为半径的圆方程为：（x－m2）2＋（y－m）2＝m4－7m2＋15，①‎ ‎⊙M方程：（x－4）2＋y2＝1.②‎ ‎①－②得：直线AB的方程为（2x－m2－4）（4－m2）－（2y－m）m＝m4－7m2＋14.‎ 当x＝0时，直线AB在y轴上的截距t＝4m－（m≥1），‎ ‎∵t关于m的函数在[1，＋∞）单调递增，∴tmin＝－11.‎ 法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵kMA＝，∴kHA＝， ‎ 可得，直线HA的方程为（4－x1）x－y1y＋4x1－15＝0，‎ 同理，直线HB的方程为（4－x2）x－y2y＋4x2－15＝0，‎ ‎∴（4－x1）y－y1y0＋4x1－15＝0，（4－x2）y－y2y0＋4x2－15＝0，‎ ‎∴直线AB的方程为（4－y）x－y0y＋4y－15＝0，‎ 令x＝0，可得t＝4y0－（y0≥1），‎ ‎∵t关于y0的函数在[1，＋∞）单调递增，∴tmin＝－11.‎ ‎8、已知椭圆的一个焦点，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线平行于直线（坐标原点），且与椭圆交于，两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎（1） （2）‎ ‎（2）由直线平行于得直线的斜率为，又在轴上的截距，‎ 故的方程为．‎ 由得，又线与椭圆交于，两个不同的点，‎ 设，，则，．‎ 所以，于是． ‎ 为钝角等价于，且，则，‎ 即，又，所以的取值范围为． ‎ ‎9、椭圆:（）的离心率为,其左焦点到点的距离为.不过原点的直线与椭圆相交于、两点,且线段被直线平分.‎ ‎（1） 求椭圆的方程；‎ ‎（2） 求的面积取最大时直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（2）易得直线的方程,设,,中点,其中,因为 在椭圆上,所以,,相减得,即 ‎,‎ 故,‎ ‎,其中且.‎ 令,则 ‎,‎ 令得,（因和不满足且,舍去） ‎ 当时,,当时,,所以,当时,取得最大值,此时直线的方程为.‎ ‎10、已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知点在抛物线上且异于原点，点为直线上的点，且．求直线与抛物线的交点个数，并说明理由．‎ ‎【答案】（1） （2）1个 ‎【解析】‎ ‎（1）抛物线的准线方程为，‎ 所以点到焦点的距离为．解得． ‎ 所以抛物线的方程为．‎ 故直线的斜率 ．‎ 故直线的方程为，即．①‎ 又抛物线的方程，②‎ 联立消去得 ，故，且．‎ 故直线与抛物线只有一个交点．‎ ‎11、已知圆与轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）圆与圆：相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．‎ ‎【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2=16 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，‎ 即y=x﹣1．‎ 由题意可得，圆心在直线y=3上，‎ 联立，解得圆心坐标为（4，3），‎ 故圆C1的半径为4．‎ 则圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=16；‎ ‎12、已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线与圆C相切.‎ ‎（1）求圆C的方程;‎ ‎（2）过点Q（0,-3）的直线与圆C交于不同的两点A、B，当时,求△AOB的面积.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设圆心为,‎ 因为圆C与相切,‎ 所以,‎ 解得（舍去）,‎ 所以圆C的方程为 设,则,   ①,‎ 将①代入并整理得,‎ 解得k = 1或k =-5（舍去）,‎ 所以直线l的方程为  ‎ 圆心C到l的距离,‎ ‎13、已知是椭圆C：上两点，点的坐标为.‎ ‎（1）当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；‎ ‎（2）当两点不关于轴对称时，证明：不可能为等边三角形.‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎⑵根据题意可知，直线AB斜率存在.‎ 设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为N（x0，y0），联立 ‎，消去y得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-9=0，‎ 由△＞0得2m2-9k2-6＜0，① 所以x1+x2=-,y1+y2=k（x1+x2）+2m=, 所以N（-，），又M（1， 0），‎ 假设△MAB为等边三角形，则有MN⊥AB，所以kMN×k=-1，即×k=-1，‎ 化简得3k2+2+km=0，② 由②得m=-，代入①得2-3（3k2+2）＜0，‎ 化简得3k2+4＜0，矛盾，所以原假设不成立， 故△MAB不可能为等边三角形.‎ ‎14、已知圆，点为圆上的一个动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求动点的轨迹曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，‎ 求线段长度的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎（1） （2）‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，因以为直径的圆过坐标原点，故可设直线为，联立解得 同理求得所以；‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为，设 联立，可得 ‎ 由求根公式得（*）‎ ‎∵以为直径的圆过坐标原点， 即 即化简可得，‎ 将（*）代入可得，即 即，‎ 又将代入，可得 ‎ ‎ ‎∴当且仅当，即时等号成立．又由，，‎ ‎；‎ 综上，得．‎ ‎15、如图，椭圆经过点A（0，-1），且离心率为。‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的亮点P,Q（均异于点A），‎ 证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值。 ‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 由已知，设则 从而直线的斜率之和为 ‎16、如图，抛物线的焦点为，准线与x轴的交点为A，点C在抛物线E上，以C为圆心，为半径作圆，设圆C与准线交于不同的两点M，N.‎ ‎（1）若点C的纵坐标为2，求；‎ ‎（2）若，求圆C的半径.‎ ‎【答案】（1）2 （2）‎ 由x=-1，得.设，则 由，得，所以，解得，此时.‎ 所以圆心C的坐标为或，从而，，即圆C的半径为.‎ ‎17、已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称．‎ ‎（1）求和的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线与交于，与交于，求证：．‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 所以的标准方程为．因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．‎ 所以．‎ 所以，即．‎