第五章一元函数的导数及其应用5-3导数在研究函数中的应用5-3-2第2课时函数的最大小值课件新人教A版选择性必修第二册 58页

第 2 课时　函数的最大 ( 小 ) 值 激趣诱思 知识点拨 费马 (1601—1665) 是一位 17 世纪的法国律师 , 也是一位业余数学家 . 之所以称费马为 “ 业余数学家之王 ”, 是由于他具有律师的全职工作 . 17 世纪是杰出数学家活跃的世纪 , 而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就 , 是 17 世纪数学家中最多产的明星 . 他将无穷小的思想运用到求积问题上 , 已具今日微积分的雏形 , 这也是费马的卓越成就之一 . 他在牛顿出生前的 13 年 , 提出了有关微积分的主体概念 . 大约在 1637 年 , 他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》 . 让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大 ( 小 ) 值问题吧 . 激趣诱思 知识点拨 一、函数在闭区间上的最值 一般地 , 如果在区间 [ a , b ] 上函数 y=f ( x ) 的图象是一条 连续不断 的曲线 , 那么它必有最大值和最小值 . 名师点析 1 . 给定的区间必须是闭区间 , 如果是开区间 , 尽管函数图象是连续的 , 那么它也不一定有最大值和最小值 . 例如函数 f ( x ) = 在 区间 (0,2) 上的图象是连续不断的曲线 , 但在该区间上 , 函数 f ( x ) 既没有最大值 , 也没有最小值 . 2 . 所给函数的图象必须是连续曲线 , 否则不一定有最值 , 例如函数 激趣诱思 知识点拨 3 . 函数的最值是一个整体性概念 , 最大值 ( 最小值 ) 必须是整个区间内所有函数值中的最大值 ( 最小值 ) . 函数在闭区间上若存在最大值或最小值 , 则最大值或最小值只能各有一个 , 具有唯一性 ; 而极大值和极小值可能有多个 , 也可能没有 . 4 . 极值只能在函数区间的内部取得 , 而最值可以在区间的端点取得 , 有极值的不一定有最值 , 有最值的不一定有极值 , 极值有可能是最值 , 最值只要不在端点处则一定是极值 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 在开区间或无穷区间上 , 最值与极值的联系有哪些 ? 提示 : 当连续函数 f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内只有一个导数为零的点时 , 若在这一点处 f ( x ) 有极大值 ( 或极小值 ), 则可以判定 f ( x ) 在该点处取得最大值 ( 或最小值 ), 这里 ( a , b ) 也可以换成无穷区间 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 设在区间 [ a , b ] 上 , 函数 y=f ( x ) 的图象是一条连续不断的曲线 , 且在区间 ( a , b ) 内可导 , 有以下三个命题 : ① 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有最大值 , 则这个最大值必是 [ a , b ] 上的极大值 ; ② 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有最小值 , 则这个最小值必是 [ a , b ] 上的极小值 ; ③ 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有最值 , 则最值必在 x=a 或 x=b 处取得 . 其中真命题共有 ( 　　 ) A.0 个 　　 B.1 个 　　 C.2 个 　　 D.3 个 解析 : 由于函数的最值可能在区间 [ a , b ] 的端点处取得 , 也可能在区间 [ a , b ] 内取得 , 而当最值在区间端点处取得时 , 其最值必不是极值 , 因此命题 ①②③ 都不是真命题 . 答案 : A 激趣诱思 知识点拨 二、函数在闭区间 [ a , b ] 上最值的求法 一般地 , 求函数 y=f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的最大值与最小值的步骤如下 : 1 . 求函数 y=f ( x ) 在 ( a , b ) 上的 极值 ; 2 . 将函数 y=f ( x ) 的各极值与 端点处 的函数值 f ( a ), f ( b ) 比较 , 其中最大的一个是 最大值 , 最小的一个是 最小值 . 名师点析 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上恰好是单调函数 , 那么函数的最值恰好在两个端点处取到 . 当 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上单调递增时 , f ( a ) 是最小值 , f ( b ) 是最大值 ; 当 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上单调递减时 , f ( a ) 是最大值 , f ( b ) 是最小值 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 函数 f ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 - 12 x+ 5 在 [0,3] 上的最大值与最小值的和是 　　　　 .   答案 : - 10 激趣诱思 知识点拨 三、生活中的优化问题 在实际生产生活中 , 求利润最大、用料最省、效率最高等问题 , 通常称为 优化问题 . 名师点析 解决优化问题的一般步骤 (1) 认真阅读理解关于实际问题的材料 . 一般地 , 实际问题的材料都非常多 , 信息量较大 , 涉及的量也比较多 , 因此需要仔细地阅读题目 , 发现其中有用的信息 , 揭示其数学本质 . (2) 在理解题意的基础上 , 建立数学模型 , 把要解决的实际问题转化为数学问题 , 建立相应的函数关系式 . (3) 针对数学模型 , 设计解决方案 , 用导数解决函数问题 , 同时要注意实际问题中变量的取值范围 , 即函数的定义域 . (4) 根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 在实际问题中 , 如果在定义域内函数只有一个极值点 , 则函数在该点处取最值吗 ? 你能列举几个关于利润的等量关系吗 ? 提示 : 根据函数的极值与单调性的关系可以判断 , 函数在该点处取最值 , 并且极小值点对应最小值 , 极大值点对应最大值 . 举例 : 利润 = 收入 - 成本 , 利润 = 每件产品的利润 × 销售件数 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知某生产厂家的年利润 y ( 单位 : 万元 ) 与年产量 x ( 单位 : 万件 ) 的函数关系式为 y =- x 3 + 81 x- 234 , 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( 　　 ) A.13 万件 　　 B.11 万件 　　 C.9 万件 　　 D.7 万件 解析 : ∵ y =- x 3 + 81 x- 234 , ∴ y'=-x 2 + 81( x> 0) . 令 y'< 0, 得 x> 9; 令 y'> 0 得 0 0, 得 x> 1 或 x<- 3; 令 f' ( x ) < 0, 得 - 3 0) . (1) 求 f ( x ) 的最小值 h ( t ); (2) 若 h ( t ) <- 2 t+m 对 t ∈ (0,2) 恒成立 , 求实数 m 的取值范围 . 分析 : (1) 利用配方法 , 即可求出二次函数 f ( x ) 的最小值 h ( t ); (2) 构造函数 g ( t ) =h ( t ) - ( - 2 t+m ), 只需使 g ( t ) 在 (0,2) 上的最大值小于零即可求得 m 的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) ∵ f ( x ) =t ( x+t ) 2 -t 3 +t- 1( x ∈ R , t> 0), ∴ 当 x=-t 时 , f ( x ) 取最小值 , 即 f ( -t ) =-t 3 +t- 1, 即 h ( t ) =-t 3 +t- 1 . (2) 令 g ( t ) =h ( t ) - ( - 2 t+m ) =-t 3 + 3 t- 1 -m , 由 g' ( t ) =- 3 t 2 + 3 = 0, 得 t= 1 或 t=- 1( 不合题意 , 舍去 ) . 当 t 变化时 , g' ( t ), g ( t ) 的变化情况如下表 : ∴ g ( t ) 在 (0,2) 内有极大值 g (1) = 1 -m. h ( t ) <- 2 t+m 在 (0,2) 内恒成立等价于 g ( t ) < 0 在 (0,2) 内恒成立 , 即等价于 1 -m< 0 . ∴ m 的取值范围为 (1, +∞ ) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的 步骤 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 1 若将本例 (2) 的条件改为 “ 存在 t ∈ [0,2], 使 h ( t ) <- 2 t+m 成立 ”, 则实数 m 的取值范围如何求解 ? 解 : 令 g ( t ) =h ( t ) - ( - 2 t+m ) =-t 3 + 3 t- 1 -m , 由 g' ( t ) =- 3 t 2 + 3 = 0, 得 t= 1 或 t=- 1( 不合题意 , 舍去 ) . 当 t 变化时 , g' ( t ), g ( t ) 的变化情况如下表 : ∴ g ( t ) 在 [0,2] 上有最小值 g (2) =- 3 -m , 存在 t ∈ [0,2], 使 h ( t ) <- 2 t+m 成立 , 等价于 g ( t ) 的最小值 g (2) < 0 . ∴ - 3 -m< 0, ∴ m>- 3, 所以实数 m 的取值范围为 ( - 3, +∞ ) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 2 若将本例 (2) 的条件改为 “ 对任意的 t 1 , t 2 ∈ [0,2], 都有 h ( t 1 ) <- 2 t 2 +m ”, 求实数 m 的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 生活中常见的几种优化问题 角度 1 　 利润 ( 收益 ) 最大问题 例 5 (2019 河北高二期中 ) 某商场销售某种商品的经验表明 , 该商品每日的销售量 y ( 单位 : 千克 ) 与销售价格 x ( 单位 : 元 / 千克 ) 满足 关系式 y= + 10( x- 6) 2 , 其中 3 0, ∴ 当 v= 80 千米 / 时时 , 全程运输成本取得极小值 , 即最小值 , 且 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 角度 3 　 面积、体积的最值问题 例 7 请你设计一个包装盒 , 如图所示 , 四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片 , 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 , 再沿虚线折起 , 使得 A , B , C , D 四个点重合于图中的点 P , 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 , E , F 在 AB 上 , 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 , 设 AE=FB=x cm . (1) 某广告商要求包装盒的侧面积 S (cm 2 ) 最大 , 试问 x 应取何值 ? (2) 某厂商要求包装盒的容积 V (cm 3 ) 最大 , 试问 x 应取何值 ? 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分析 : 用变量 x 表示出包装盒的底边长和高 , 再求侧面积与容积的最大值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 面积与体积最值问题的求解策略 求面积与体积的最值问题是实际生产生活中的常见问题 , 解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式 , 能够依据题意确定出自变量的取值范围 , 建立准确的函数关系式 , 然后利用导数的方法加以解决 , 必要时 , 可选择建立坐标系 , 通过点的坐标建立函数关系式或曲线方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 5 有一块边长为 a 的正方形铁板 , 现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形 , 做成一个长方体形的无盖容器 . 为使其容积最大 , 截下的小正方形边长应为多少 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 设截下的小正方形边长为 x , 容器容积为 V ( x ), 则做成的长方体形无盖容器底面边长为 a- 2 x , 高为 x , V' ( x ) = 12 x 2 - 8 ax+a 2 . 令 V' ( x ) = 0, 得 12 x 2 - 8 ax+a 2 = 0, 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分类讨论思想在求函数最值中的 应用 (1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性 ; (2) 求函数 f ( x ) 在区间 [ a ,2 a ] 上的最小值 . 分析 : (1) 可利用导数通过解不等式求得单调区间 ;(2) 中因为函数的最值只能在极值点和端点处取得 , 因此需比较极值点和端点处的函数值的大小 , 最后再将讨论的情况进行合并整理 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 1 . 解答含参数的问题 , 往往需要对参数进行分类讨论进行求解 . 2 . 本题因极值点 e 与所给闭区间的两个端点的大小不确定 , 从而展开讨论 , 要做到不重不漏 . 3 . 分类讨论时 , 若在所讨论的范围内 , 问题无法解决 , 还需要针对参数展开第二层讨论 . 4 . 针对参数的所有情况讨论完成后 , 应将结论进行整合 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 已知函数 f ( x ) =ax- ln x , 是否存在实数 a , 使得函数在 (0,e] 上的最小值等于 2? 若存在 , 求出实数 a 的值 ; 若不存在 , 说明理由 . 当 a ≤ 0 时 , f' ( x ) < 0 恒成立 , f ( x ) 在 (0,e] 上单调递减 . 所以 f ( x ) 在 (0,e] 上的最小值为 f (e) =a e - 1, 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 若函数 f ( x ) =-x 4 + 2 x 2 + 3, 则 f ( x )( 　　 ) A . 最大值为 4, 最小值为 - 4 B . 最大值为 4, 无最小值 C . 最小值为 - 4, 无最大值 D . 既无最大值 , 也无最小值 解析 : f' ( x ) =- 4 x 3 + 4 x. 由 f' ( x ) = 0 得 x= ± 1 或 x= 0, 易知 f ( - 1) =f (1) = 4 为极大值也是最大值 , 故选 B . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油 , 需对原油进行冷却和加热 , 如果第 x h, 原油温度 ( 单位 : ℃ ) 为 f ( x ) = x 3 -x 2 + 8(0 ≤ x ≤ 5), 那么 , 原油温度的瞬时变化率的最小值是 　　　　 ℃ /h .   解析 : 原油温度的瞬时变化率为 f' ( x ) =x 2 - 2 x= ( x- 1) 2 - 1(0 ≤ x ≤ 5), 所以当 x= 1 时 , 原油温度的瞬时变化率取得最小值 - 1 . 答案 : - 1 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 设函数 f ( x ) = x 3 - - 2 x+ 5, 若对任意 x ∈ [ - 1,2], 有 f ( x ) >m 恒成立 , 则实数 m 的取值范围是 　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 当 x> 1 时 , f' ( x ) < 0, ∴ 函数 f ( x ) 在 (0,1) 内单调递增 , 在 (1, +∞ ) 内单调递减 , ∴ 当 x= 1 时 , 函数 f ( x ) 有最大值 , 且最大值 f (1) =- 1, 函数无最小值 .