2020年高中数学第一章导数及其应用1 5页

‎1.6 微积分基本定理 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1. dx等于(　　)‎ A．－2ln 2　　　　　　 B．2ln 2‎ C．－ln 2 D．ln 2‎ 解析：∵(ln x)′＝，‎ ‎∴dx＝(ln x)＝ln 4－ln 2＝ln 2.‎ 答案：D ‎2．如图，阴影区域的边界是直线y＝0，x＝2，x＝0及曲线y＝3x2，则这个区域的面积是(　　)‎ A．4 B．8‎ C. D. 解析：由定积分的几何意义，得S＝3x2dx＝x3＝23－0＝8，故答案为B.‎ 答案：B ‎3．定积分(2x＋ex)dx的值为(　　)‎ A．e＋2 B．e＋1‎ C．e D．e－1‎ 解析：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.‎ 答案：C ‎4．已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx等于(　　)‎ A．3 B．4‎ C. D. 解析：f(x)＝2－|x|＝ 5‎ ‎∴f(x)dx＝(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.‎ 答案：C ‎5．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　)‎ A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0和最小值－ C．有最小值－，无最大值 D．既无最大值也无最小值 解析：F(x)＝(t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)．‎ F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：‎ x ‎(－1,0)‎ ‎0‎ ‎(0,4)‎ ‎4‎ ‎(4,5)‎ F′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ F(x)‎  极大值  极小值  ‎∴极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.‎ 又F(－1)＝－，F(5)＝－，∴最大值为0，最小值为－.‎ 答案：B ‎6．(2015·高考湖南卷)(x－1)dx＝________.‎ 解析：(x－1)dx＝＝(2－2)－0＝0.‎ 答案：0‎ ‎7．若(2x＋)dx＝3＋ln 2，则a＝________.‎ 解析：(2x＋)dx＝(x2＋ln x) ‎＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，‎ ‎∴a＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________．‎ 解析：依题意得f(x) dx＝x2 dx＋ dx ‎＝x3＋ln x＝.‎ 5‎ 答案： ‎9．计算下列定积分：‎ ‎(1)(2x2－)dx；‎ ‎(2)(sin x－sin 2x)dx.‎ 解析：(1)函数y＝2x2－的一个原函数是y＝x3－ln x.‎ 所以(2x2－)dx＝(x3－ln x)＝－ln 2－＝－ln 2.‎ ‎(2)函数y＝sin x－sin 2x的一个原函数为y＝－cos x＋cos 2x.‎ 所以 (sin x－sin 2x)dx＝(－cos x＋cos 2x)‎ ‎＝(－－)－(－1＋)＝－.‎ ‎10．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，＝－2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．‎ 解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ 则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，‎ 得，即.‎ ‎∴f(x)＝ax2＋(2－a)．‎ 又f(x)dx＝[ax2＋(2－a)]dx ‎＝[ax3＋ (2－a)x]＝2－a＝－2，‎ ‎∴a＝6，∴c＝－4.从而f(x)＝6x2－4.‎ ‎(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，‎ 所以当x＝0时，f(x)min＝－4；‎ 当x＝±1时，f(x)max＝2.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．若f(x)＝x2＋‎2‎f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ 5‎ 解析：令m＝f(x)dx，则f(x)＝x2＋‎2f(x)dx＝x2＋‎2m，‎ 所以m＝f(x)dx＝dx＝‎ (x2＋‎2m)dx＝(x2)dx＋‎2m＝＋‎2m，‎ 所以m＝－⇒f(x)dx＝－.‎ 答案：B ‎2. (x3cos x)dx＝________.‎ 解析：∵y＝x3cos x为奇函数，∴ (x3cos x)dx＝0.‎ 答案：0‎ ‎3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．‎ ‎(1)若φ＝，点P的坐标为，则ω＝________.‎ ‎(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．‎ 解析：(1)y＝f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，当φ＝，点P的坐标为时，‎ ωcos＝，所以ω＝3.‎ ‎(2)由题图知AC＝＝，‎ S△ABC＝AC·ω＝，‎ 设A，C的横坐标分别为a，b.‎ 设曲线段与x轴所围成的区域的面积为S，则 S＝＝|f(x)|‎ ‎＝|sin(ωb＋φ)－sin(ωa＋φ)|＝2，‎ 由几何概型知该点在△ABC内的概率为P＝＝.‎ 5‎ 答案：(1)3　(2) ‎4．设f(x)＝ax＋b且f2(x)dx＝1，求f(a)的取值范围．‎ 解析：∵f2(x)dx ‎＝ (a2x2＋2abx＋b2)dx ‎＝(a2x3＋abx2＋b2x) ‎＝a2＋2b2，‎ ‎∴a2＋2b2＝1，∴a2＝－3b2，‎ 又∵f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋ ‎＝－3(b－)2＋，‎ ‎∴当b＝时，f(a)max＝.‎ ‎∴f(a)≤.‎ ‎5．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，＝.求dx的值．‎ 解析：∵f(x)是一次函数，‎ ‎∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由(ax＋b)dx＝5得 ‎(ax2＋bx)＝a＋b＝5.①‎ 由xf(x)dx＝得(ax2＋bx)dx＝，‎ 即(ax3＋bx2)＝，∴a＋b＝.②‎ 解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，‎ 于是dx＝dx＝(4＋)dx ‎＝(4x＋3ln x)|＝8＋3ln 2－4＝4＋3ln 2.‎ 5‎