高考数学一轮复习第六章不等式6-3简单线性规划练习理北师大版 10页

‎6.3 简单线性规划 核心考点·精准研析 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎ ‎1.(2020·佛山模拟)不等式组表示的平面区域是 (　　)‎ ‎2.已知实数x,y满足不等式组则点(x,y)构成的平面区域的面积是 (　　)‎ A.3　 B.　　 C.2　　 D.‎ ‎3.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by-1<0表示的平面区域内,则实数b的取值范围是　　. ‎ ‎【解析】1.选B.x-2y+4≥0表示的区域在直线x-2y+4=0的下方及直线上,x-y+‎ ‎2<0表示的区域在直线x-y+2=0的上方,则对应的区域为选项B.‎ ‎2.选A.根据题意作出不等式组所表示的平面区域,‎ 分别求出三个点的坐标A(2,2),B(4,-2),C(1,1),求出点B到直线y=x的距离为3,|AC|=,所以S△ABC=×|AC|×d=××3=3.‎ - 10 -‎ ‎3.根据题意,设Q与P(1,-2)关于原点对称,则Q的坐标为(-1,2),若P,Q均在不等式2x+by-1<0表示的平面区域内,则有解得:0,解得b<或b>.‎ 答案:∪‎ ‎1.点与平面区域的关系及应用 点在平面区域内,则点的坐标满足表示平面区域的不等式组,若点的坐标不满足不等式组中的任何一个不等式,则点不在平面区域内,这一关系可用于平面区域的判断和求参数的范围.‎ ‎2.求平面区域的面积 首先作出平面区域,确定平面区域的形状,其次利用两点间距离公式求距离,点到直线的距离公式求高,进而求面积.‎ ‎【秒杀绝招】‎ 排除法解T1,根据选项图形中的特殊点排除不正确选项,如利用原点即可排除选项A.‎ 考点二　简单线性规划问题中的最值 ‎ 命 题 精 解 ‎1.考什么:(1)考查求最大值、最小值,与平面区域面积相关的问题.‎ ‎(2)考查数学运算、直观想象的核心素养及数形结合、分类与整合等思想方法.‎ ‎2.怎么考:考查线性目标函数的最值为主,有时也涉及非线性目标函数的最值.‎ - 10 -‎ 读 学 霸 好 方 法 ‎1.求最值问题的解题思路 按照作出可行域,确定并求出最优解,代入目标函数求最值的步骤解题.‎ ‎2.交汇问题: 与基本初等函数交汇时,利用函数的图像与可行域的关系讨论,与向量交汇时借助向量的运算转化目标函数.‎ 求线性目标函数的最值 ‎【典例】(2020·新余模拟)已知实数x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为　　　　. ‎ ‎【解析】由约束条件可得可行域如图:‎ 由图得目标函数过可行域内的点A时值最小,联立直线AB、AC方程得点A(1,-1),所以z=x+2y最小值为-1.‎ 答案:-1‎ 目标函数对应的直线与边界直线倾斜程度大小如何确定?‎ 提示:目标函数对应直线与边界直线斜率的大小决定倾斜程度的大小,当斜率同号时,斜率越大,倾斜角越大.‎ 求非线性目标函数的最值 ‎【典例】(2019·太原模拟)已知实数x,y满足则z=的取值范围为 (　　)‎ A.(-∞,-2]∪‎ - 10 -‎ B.(-∞,-3]∪‎ C.‎ D.‎ ‎【解析】选B.z==-1+,设k=,‎ 则k的几何意义是区域内的点与定点D(1,0)连线的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图,A(3,3),B(0,2),‎ 由图形知,AD的斜率为=,此时z=,‎ BD的斜率为=-2,此时z=-3,‎ 则z=的取值范围为(-∞,-3]∪.‎ 分式形式的目标函数常见的几何意义是什么?‎ 提示:分式形式的目标函数可以变形为两点连线的斜率形式,即转化为斜率求范围.‎ 求参数的值或范围 ‎【典例】(2020·绍兴模拟)给出平面区域如图所示,若目标函数z=x+ay仅在点(2,2)处取得最大值,则a的取值范围为 (　　)‎ - 10 -‎ A.0 D.00时,由目标函数z=x+ay得y=-x+,‎ 由题意得-3=kAC<-<0,解得a>;‎ 当a<0时,目标函数为y=-x+在A点处取不到最大值;综上所述,a的取值范围是a>.‎ 本例中的参数a影响了目标函数的哪个性质?是如何进行讨论的?‎ 提示:a的不同取值影响目标函数对应直线的斜率,将已知条件转化为目标函数对应的斜率与边界斜率的大小进行讨论.‎ ‎1.(2020·咸阳模拟)已知x,y满足则目标函数z=-x+y的最大值是 (　　)‎ A.- B.0 C.3 D.5‎ ‎2.(2020·衡阳模拟)若实数x,y满足则z=(x-2)2+y2的最大值为 (　　)‎ - 10 -‎ A. B.2 C.10　　 D.12‎ ‎3.(2019·芜湖模拟)已知x,y满足约束条件若目标函数z=3x+y的最小值为-5,则z的最大值为 (　　)‎ A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5‎ ‎【解析】1.选C.由不等式组画出可行域如图阴影部分.‎ 画出目标函数并平移,显然过点A时目标函数的值最大,如图中虚线所示,由,解得点A(-1,2),‎ 代入目标函数得zmax=1+2=3.‎ ‎2.选C.实数x,y满足的可行域如图,‎ 依题意目标函数z=(x-2)2+y2为可行域内点与点D(2,0)距离的平方,如图,观察计算,|DC|=|DB|=>|DA|=2,‎ 则z=(x-2)2+y2的最大值为10.‎ ‎3.选D.作出不等式组满足的可行域如图:‎ - 10 -‎ 可得直线x+y+a=0与直线x-2y+4=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值-5,‎ 故由3x+y=-5和x-2y+4=0,解得 x=-2,y=1,可知A(-2,1)在直线x+y+a=0上,‎ 即-2+1+a=0,所以a=1,‎ 由x+y+1=0和2x+y-2=0可得C(3,-4),‎ 当过点C(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为5.‎ ‎1.(2019·池州模拟)若实数x,y满足且2x+y-7≥c(x-3)恒成立,则c的取值范围是 (　　)‎ A. B.(-∞,2]‎ C. D.[2,+∞)‎ ‎【解析】选D.作出实数x,y满足对应的平面区域如图:‎ - 10 -‎ 由可行域可知x-3<0,由2x+y-7≥c(x-3)恒成立,可得c≥=2+恒成立,令z=2+,几何意义为区域内的点和D(3,1)连线的斜率加2.‎ 由图形,可得A(0,2),B(0,1),‎ 由图可知,直线BD的斜率为0,即斜率的最大值,‎ 所以z的最大值为2,‎ 所以c的取值范围是[2,+∞).‎ ‎2.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组或x2+(y-1)2≤1来表示,设(x,y)是阴影中任意一点,则z=x+y的最大值为　　　　. ‎ ‎【解析】依题意,z=x+y,所以y=-x+z,z表示直线y=-x+z在y轴上的截距,‎ 所以当直线y=-x+z与圆x2+(y-1)2=1切于如图的点A时,z最大(z>1),‎ 因为直线y=-x+z与圆相切,所以点(0,1)到直线x+y-z=0的距离为1,即1=,因为z>1,所以=1,解得z=1+.‎ 答案:1+‎ - 10 -‎ 考点三　简单线性规划的实际应用 ‎ ‎【典例】(2020·蚌埠模拟)现在全国正在严格实施垃圾分类,经测算回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸,可节约用水约100吨,节约用煤约1.2吨,回收1吨废铅蓄电池可生产再生铅约0.6吨,可节约用煤约0.8吨,节约用水约120吨,回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元,回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元,在保证节约用煤不少于12吨的前提下,最多可节约用水约　　　　吨 ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎(1)由回收废纸、废铅蓄电池,想到分别设为回收x,y吨.‎ ‎(2)由费用不超过18万元,想到0.2x+0.9y≤18.‎ ‎(3)由节约用煤不少于12吨,想到1.2x+0.8y≥12.‎ ‎(4)由求节约用水,想到目标函数z=100x+120y ‎【解析】设回收废纸x吨,回收废铅蓄电池y吨,可节约用水z吨,‎ 由已知条件可得z=100x+120y,‎ 作出不等式组表示的可行域,如图所示.y=-x+,平移直线可得当直线过点A时,在y轴上的截距最大,即z最大,‎ 由图可得点A(90,0),此时z取得最大值为9 000.‎ 答案:9 000‎ 利用线性规划解决实际问题的一般步骤 ‎(1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系.‎ ‎(2)设元:设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量,并列出相应的不等式组和目标函数.‎ ‎(3)作图:准确作出可行域,平移找点(最优解).‎ - 10 -‎ ‎(4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值).‎ ‎(5)检验:根据结果,检验反馈.‎ ‎(2020·清华附中模拟)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生,利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个小区每位同学往返车费及服务老人的人数如表:‎ A小区 B小区 往返车费 ‎3元 ‎5元 服务老人的人数 ‎5人 ‎3人 根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有　　　　　人. ‎ ‎【解析】设A,B两小区参加活动同学的人数分别为x,y,受到服务的老人人数为z,‎ 则z=5x+3y,且作出可行域,如图,平移直线z=5x+3y,由图可知,‎ 当直线z=5x+3y过点M(4,5)时,最大,‎ 所以当x=4,y=5时,取得最大值为35,‎ 即接受服务的老人最多有35人.‎ 答案:35‎ - 10 -‎