2020年高中数学第三章不等式 5页

1 第 2 课时 一元二次不等式及其解法（习题课） [课时作业] [A 组 基础巩固] 1．已知 A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－a>0}，A∩B＝∅ ，则 a 的取值范围是( ) A．a＝3 B．a≥3 C．a<3 D．a≤3 解析：A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|(x－3)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－a>0}＝ {x|x>a}，因为 A∩B＝∅ ，所以 a≥3.故选 B. 答案：B 2．已知 x＝2 是不等式 m2x2＋(1－m2)x－4m≤0 的解，则 m 的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意知，4m2＋(1－m2)·2－4m≤0， ∴m2－2m＋1≤0. 即(m－1)2≤0，∴m＝1. 答案：A 3．已知关于 x 的不等式 ax＋b>0 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的不等式ax－b x－2 >0 的解集是 ( ) A．{x|x<－1 或 x>2} B．{x|－12} 解析：依题意，a>0 且－b a ＝1. ax－b x－2 >0⇔(ax－b)(x－2)>0⇔ x－b a (x－2)>0， 即(x＋1)(x－2)>0⇒x>2 或 x<－1. 答案：A 4．不等式x2－2x－2 x2＋x＋1 ＜2 的解集为( ) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x＜－2 或 x＞2} 解析：∵x2＋x＋1＝(x＋1 2 )2＋3 4 ＞0，原不等式⇔x2－2x－2＜2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4＞0⇔(x ＋2)2＞0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}． 2 答案：A 5．设集合 P＝{m|－10. 解析：原不等式可化为 x mx－1 >0，即 x(mx－1)>0. 当 m>0 时，解得 x<0 或 x>1 m ； 当 m<0 时，解得1 m 0 时，不等式的解集为 x | x<0 或 x>1 m ； 当 m<0 时，不等式的解集为 x | 1 m 0 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围． 解析：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2>0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足题意，舍去； 当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只需 a>0， Δ＝22－4×2a<0， 解得 a>1 2 . 综上，所求实数 a 的取值范围为 1 2 ，＋∞ . [B 组 能力提升] 1．对任意 a∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a 的值恒大于零，则 x 的取值范围是 ( ) A．1＜x＜3 B．x＜1 或 x＞3 C．1＜x＜2 D．x＜1 或 x＞2 解析：设 g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)， g(a)＞0 恒成立且 a∈[－1,1] ⇔ g 1 ＝x2－3x＋2＞0 g －1 ＝x2－5x＋6＞0 ⇔ x＜1 或 x＞2 x＜2 或 x＞3 ⇔x＜1 或 x＞3. 答案：B 2．已知 f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a－1， 即 x2－4x＋2<0.解得 2－ 217 6 ， a<7 2 ， 10 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)若对任意 a∈[－1,1]，f(x)>4 恒成立，求实数 x 的取值范围． 解析：(1)对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立， 即x2＋2x＋a x >0 对 x∈[1，＋∞)恒成立， 5 亦即 x2＋2x＋a>0 对 x∈[1，＋∞)恒成立， 即 a>－x2－2x 对 x∈[1，＋∞)恒成立， 即 a>(－x2－2x)max(x∈[1，＋∞))． ∵－x2－2x＝－(x＋1)2＋1， ∴当 x＝1 时，(－x2－2x)max＝－3(x∈[1，＋∞))， ∴a>－3. (2)∵当 a∈[－1,1]时，f(x)>4 恒成立， 则x2＋2x＋a x －4>0 对 a∈[－1,1]恒成立， 即 x2－2x＋a>0 对 a∈[－1,1]恒成立． 把 g(a)＝a＋(x2－2x)看成 a 的一次函数， 则 g(a)>0 对 a∈[－1,1]恒成立的条件是 g(－1)>0， 即 x2－2x－1>0，解得 x<1－ 2或 x> 2＋1. 又∵x≥1，∴x> 2＋1.