2020高中数学 第1章 立体几何初步 第一节 空间几何体1 棱柱、棱锥和棱台学案 苏教版必修2 5页

圆柱、圆锥、圆台和球 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 棱柱、棱锥和棱台 ‎1. 直观了解棱柱、棱锥、棱台的结构特征。‎ ‎2. 能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。‎ 选择 填空 通过本节的学习，培养制作动手能力以及对现实生活中的物体进行抽象概括观察分析，比较类比的能力。‎ 二、重难点提示 重点：棱柱、棱锥、棱台及多面体的概念和画法。‎ 难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。‎ 考点一：棱柱 ‎（1）棱柱的定义、表示及相关概念 定义 图形及表示 相关概念 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体 记作：棱柱ABCD－A′B′C′D′‎ 底面：平移起止位置的两个面；‎ 侧面：多边形的边平移所形成的面；‎ 侧棱：相邻侧面的公共边 ‎（2）棱柱的分类 ‎① 按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱……‎ ‎② 按棱柱与底面的关系分类：斜棱柱、直棱柱。其中底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。‎ ‎（3）棱柱的结构特征 ‎① 底面：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；‎ ‎② 侧棱：侧棱互相平行且相等；‎ ‎③ 侧面：侧面都是平行四边形；‎ ‎④ 截面：与底面平行的截面是与底面全等的多边形；与侧棱平行的截面是平行四边形。‎ 考点二：棱椎 ‎（1）棱锥的概念 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。这个底面叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。‎ 5‎ ‎（2）棱锥的相关概念及表示 该四棱锥可记作S－ABCD ‎（3）棱锥的分类 按照底面多边形的边数分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……‎ ‎（4）棱锥的结构特征 ‎①底面：底面是多边形；‎ ‎②侧面：侧面都是三角形，且侧面有且仅有一个公共点。‎ 考点三：棱台 ‎（1）棱台的概念 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台。即棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分。‎ ‎（2）棱台的相关概念及表示 记作：棱台ABCD－A′B′C′D′或棱台A′C ‎（3）棱台的分类：三棱台、四棱台、五棱台…… ‎ ‎（4）棱台的结构特征 ‎① 底面：棱柱的上、下两个底面是平行的，并且这两个底面是相似多边形。‎ ‎② 侧面：侧面均为梯形。‎ ‎③ 侧棱：棱台的所有侧棱的延长线交于同一点。‎ 考点四：正棱柱、正棱椎、正棱台的定义 ‎（1）正棱柱：底面是正多边形，每个侧面都是矩形的棱柱叫做正棱柱。‎ ‎（2）正棱锥：当正棱柱的一个底面收缩为底面的中心时，得到的几何体叫做正棱锥。‎ ‎（3）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。‎ ‎【要点诠释】‎ ‎①正棱柱是特殊的棱柱；②正棱柱的每个侧面都是矩形；③正棱柱的底面是正多边形；④正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，正棱台的侧面都是全等的等腰梯形。‎ ‎【核心突破】‎ ‎1. 在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱台、三棱锥为例）。‎ 5‎ ‎2. 根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的特点，其次要有一定的空间想象能力。‎ ‎【随堂练习】 用一个平面截三棱柱，截面一定是___________。‎ ‎①三角形；②四边形；③五边形；④三角形或四边形 答案：④‎ 思路分析：用一个平面截三棱柱，其截面图形应该根据所截平面的位置决定，它可能是三角形，也可能是四边形。如图给出两种可能的图形，故选④。‎ 技巧点拨：平面截几何体的截面图形，应该根据具体的几何体和所截平面的位置决定。‎ 例题1 （棱柱、棱锥、棱台的结构特征）‎ 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：‎ ‎（1）由6个平行四边形围成的几何体；‎ ‎（2）由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；‎ ‎（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点。‎ 思路分析：‎ 答案：（1）这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱。‎ ‎（2）这是一个六棱锥，其中六边形面是底面，其余的三角形面是侧面。‎ ‎（3）这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面。‎ 技巧点拨：根据形成几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演示进行准确判断。‎ 例题2 （空间几何体的判断）‎ 如图所示，已知长方体ABCD－A1B‎1C1D1。‎ ‎（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？‎ ‎（2）用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并指出底面。如果不是，请说明理由。‎ 5‎ 思路分析：根据棱柱的定义或棱柱的结构特征进行判断。‎ 答案：是棱柱，并且是四棱柱。因为它可以看成由四边形ADD‎1A1沿AB方向平移至四边形BCC1B1形成的几何体，符合棱柱的定义。‎ ‎（2）截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1与△CFC1是底面。截面BCFE左边的部分是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面。 ‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体一个是棱柱，一个是棱台的错误。‎ ‎2. 在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置。‎ 例题3 （棱柱、棱锥、棱台的画法）‎ 画一个三棱柱和一个四棱台。‎ 思路分析：‎ ‎（1）画上底面 → 画侧棱 → 画下底面 ‎（2）画一个四棱锥→画四棱台 答案：①画三棱柱可分以下三步完成：‎ 第一步：画上底面——画一个三角形；‎ 第二步：画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；‎ 第三步：画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点（如图所示）。‎ ‎②画四棱台可分以下三步完成：‎ 第一步：画一个四棱锥；‎ 第二步：在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；‎ 第三步：将多余的线段擦去（如图所示）。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 在画立体图形时，被遮挡的线画成虚线，可以增加立体感。‎ ‎2. 由于棱台的侧棱延长线交于一点，因此画棱台时，要先画棱锥，再截得棱台。‎ 5‎ ‎【满分训练】画出如图所示的几何体的表面展开图。‎ 思路分析：以一个面为依托，其他各面沿侧棱展开。‎ 答案：表面展开图如图所示：‎ 技巧点拨：多面体表面展开图问题的解题策略：‎ ‎（1）绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型。在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图。‎ ‎（2）已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推。同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图。‎ ‎【变式训练】‎ 下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是________。‎ 解析：将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体。‎ 答案：③‎ 5‎