高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.3.3 函数的最大(小)值与导数 13页

1.3.3 函数的最大(小)值与导数 [学习目标] 1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系． 2．会求某闭区间上函数的最值． [知识链接] 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性 质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极 值与最值有怎样的关系？ 答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是 比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个； 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最 值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值， 所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值． [预习导引] 1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一 定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得． 2．求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 最大值，最小的一个是最小值． 3．函数在开区间(a，b)的最值 在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(x)在开区间 I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的 最大(小)值． 4．极值与最值的意义 (1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值； (2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值 x0 附近相比较最大(小)的值． 要点一 求函数在闭区间上的最值 例 1 求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． 解 (1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1. 当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60 极大 值 4 极小 值 3 极大 值 4 －5 ∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60； 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于 0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故 x＝－1 时，f(x)最小值 ＝－12； x＝1 时，f(x)最大值＝2. 即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2. 规律方法 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可 用下面简化的方法求得． ①求出导数为零的点． ②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 跟踪演练 1 求下列函数的最值： (1)f(x)＝1 3x3－4x＋4，x∈[0,3]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]． 解 (1)∵f(x)＝1 3x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4. 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2. ∵f(2)＝－4 3 ，f(0)＝4，f(3)＝1， ∴函数 f(x)在[0,3]上的最大值为 4，最小值－4 3. (2)∵f(x)＝3ex－exx2， ∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)， ∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0， 即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减， ∴x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2； x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5. 要点二 含参数的函数的最值问题 例 2 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)．求 f(x)在区间[0,2]上的最大值． 解 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2a 3 . ①当2a 3 ≤0，即 a≤0 时， f(x)在[0,2]上单调递增， 从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a. ②当2a 3 ≥2，即 a≥3 时， f(x)在[0,2]上单调递减， 从而 f(x)max＝f(0)＝0. ③当 0<2a 3 <2，即 02. 规律方法 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化， 从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识 进行求解． 跟踪演练 2 在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？ 解 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2 3a， ①当 2 3a≥0，即 a≥0 时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而 f(x)max＝f(0)＝0； ②当 2 3a≤－1，即 a≤－3 2 时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而 f(x)max＝f(－1)＝－1 －a； ③当－1<2 3a<0，即－3 21. 故实数 m 的取值范围是(1，＋∞)． 规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可 采用分 离 参 数 法进 行 转 化 ． λ≥f(x) 恒 成 立⇔ λ≥[f(x)]max ； λ≤f(x)恒 成 立 ⇔ λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可． (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到“和“不等式中是否含等号”的情况， 以此来确定参数的范围能否取得“＝”． 跟踪演练 3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， (1)若对任意的 x∈[0,3]，都有 f(x)＜c2 成立，求 c 的取值范围； (2)若对任意的 x∈(0,3)，都有 f(x)＜c2 成立，求 c 的取值范围． 解 (1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． ∴当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0； 当 x∈(2,3)时，f′(x)＞0. ∴当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c. 又 f(3)＝9＋8c＞f(1)， ∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c. ∵对任意的 x∈[0,3]，有 f(x)＜c2 恒成立， ∴9＋8c＜c2，即 c＜－1 或 c＞9. ∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2)由(1)知 f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即 c≤－1 或 c≥9， ∴c 的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)． 1．函数 f(x)＝－x2＋4x＋7，在 x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 答案 B 解析 ∵f′(x)＝－2x＋4， ∴当 x∈[3,5]时，f′(x)<0， 故 f(x)在[3,5]上单调递减， 故 f(x)的最大值和最小值分别是 f(3)，f(5)． 2．函数 f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( ) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 答案 D 解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当 x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以 f(x)在(－ 1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选 D. 3．函数 y＝x－sin x，x∈ π 2 ，π 的最大值是( ) A．π－1 B．π 2 －1 C．π D．π＋1 答案 C 解析 因为 y′＝1－cos x，当 x∈ π 2 ，π 时，y′＞0，则函数在区间 π 2 ，π 上为 增函数，所以 y 的最大值为 ymax＝π－sin π＝π，故选 C. 4．(2012·安徽改编)函数 f(x)＝exsin x 在区间 0，π 2 上的值域为( ) A. 0，eπ 2 B． 0，eπ 2 C． 0，eπ 2 D． 0，eπ 2 答案 A 解析 f′(x)＝ex(sin x＋cos x)． ∵x∈ 0，π 2 ，f′(x)＞0. ∴f(x)在 0，π 2 上是单调增函数， ∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f π 2 ＝eπ 2. 5．函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋k 在区间[－4,4]上的最大值为 10，则其最小值为 ________． 答案 －71 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 由 f′(x)＝0 得 x＝3 或 x＝－1. 又 f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由 f(x)max＝k＋5＝10，得 k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71. 1．求函数的最值时，应注意以下几点： (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对 整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念． (2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有 最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不 止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)． 2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题. 一、基础达标 1．函数 y＝f(x)在[a，b]上( ) A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值 答案 D 解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极 小值． 2．函数 y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( ) A．0 B．1 e C．4 e4 D．2 e2 答案 B 解析 y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令 y′＝0，∴x＝1， ∴f(0)＝0，f(4)＝4 e4 ，f(1)＝e－1＝1 e ，∴f(1)为最大值，故选 B. 3．函数 y＝ln x x 的最大值为( ) A．e－1 B．e C．e2 D．10 3 答案 A 解析 令 y′＝ln x′x－ln x·x′ x2 ＝1－ln x x2 ＝0.(x＞0) 解得 x＝e.当 x>e 时，y′<0；当 0＜x0)． y′＝2t－1 t ＝2t2－1 t ＝2 t＋ 2 2 t－ 2 2 t . 当 0＜t＜ 2 2 时，y′＜0，可知 y 在 0， 2 2 上单调递减； 当 t＞ 2 2 时，y′＞0，可知 y 在 2 2 ，＋∞ 上单调递增． 故当 t＝ 2 2 时，|MN|有最小值． 9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数 f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的 a∈[1,2]， b∈(2,3]，函数 f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数 t 的取值范围是( ) A．(－∞，3] B．(－∞，5] C．[3，＋∞) D．[5，＋∞) 答案 D 解析 ∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数 f(x)在[a，b]上单调 递减，则有 f′(x)≤0 在[a，b]上恒成立，即不等式 3x2－2tx＋3≤0 在[a，b]上恒 成立，即有 t≥3 2 x＋1 x 在[a，b]上恒成立，而函数 y＝3 2 x＋1 x 在[1,3]上单调递增， 由于 a∈[1,2]，b∈(2,3]，当 b＝3 时，函数 y＝3 2 x＋1 x 取得最大值，即 ymax＝3 2 3＋1 3 ＝5，所以 t≥5，故选 D. 10．如果函数 f(x)＝x3－3 2x2＋a 在[－1,1]上的最大值是 2，那么 f(x)在[－1,1]上的 最小值是________． 答案 －1 2 解析 f′(x)＝3x2－3x，令 f′(x)＝0 得 x＝0，或 x＝1. ∵f(0)＝a，f(－1)＝－5 2 ＋a，f(1)＝－1 2 ＋a， ∴f(x)max＝a＝2. ∴f(x)min＝－5 2 ＋a＝－1 2. 11．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)． (1)若函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值，试求 a，b 的值； (2)在(1)的条件下，当 x∈[－2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求 c 的取值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b， ∵函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值， ∴－1,3 是方程 3x2－2ax＋b＝0 的两根． ∴ －1＋3＝2 3a －1×3＝b 3 ，∴ a＝3 b＝－9 . (2)由(1)知 f(x)＝x3－3x2－9x＋c， f′(x)＝3x2－6x－9，令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝3. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)随 x 的变化如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 c＋5 极小值 c－27 而 f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54， ∴当 x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为 c＋54， 要使 f(x)＜2|c|恒成立，只要 c＋54＜2|c|即可， 当 c≥0 时，c＋54＜2c，∴c＞54； 当 c＜0 时，c＋54＜－2c，∴c＜－18. ∴c 的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)， 此即为参数 c 的取值范围． 12．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)在区间[－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值． 解 (1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令 f′(x)＜0，解得 x＜－1 或 x＞3， ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)． 于是有 22＋a＝20，∴a＝－2. ∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2. ∵在(－1,3)上 f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于 f(x)在[－2，－1]上 单调递减， ∴f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值， ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即 f(x)最小值为－7. 三、探究与创新 13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线 y＝f(x) 和曲线 y＝g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线 y＝4x＋2. (1)求 a，b，c，d 的值； (2)若 x≥－2 时，f(x)≤kg(x)，求 k 的取值范围． 解 (1)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4， g′(0)＝4，而 f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)， ∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2. (2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)， 设函数 F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，F′(x)＝2kex(x＋2)－ 2x－4＝2(x＋2)(kex－1)． 由题设可得 F(0)≥0，即 k≥1， 令 F′(x)＝0 得 x1＝－ln k，x2＝－2， ①若 1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当 x∈(－2，x1)时， F′(x)＜0，当 x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即 F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1， ＋∞)单调递增，故 F(x)在 x＝x1 取最小值 F(x1)，而 F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝ －x1(x1＋2)≥0. ∴当 x≥－2 时，F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立． ②若 k＝e2，则 F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e2)， ∴当 x≥－2 时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而 F(－2)＝0，∴当 x≥－2 时，F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立， ③若 k＞e2，则 F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当 x≥－2 时，f(x)≤kg(x) 不可能恒成立． 综上所述，k 的取值范围为[1，e2].