高考理科数学复习练习作业65 9页

题组层级快练(六十五) 1．抛物线 x2＝1 2y 的焦点到准线的距离是( ) A．2 B．1 C.1 2 D.1 4 答案 D 解析 抛物线标准方程 x2＝2py(p>0)中 p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又 p ＝1 4 ，故选 D. 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 答案 B 解析 因为抛物线的准线方程为 x＝－2，所以p 2 ＝2，所以 p＝4，所以抛物线的方程是 y2＝ 8x.所以选 B. 3．若抛物线 y＝ax2 的焦点坐标是(0，1)，则 a＝( ) A．1 B.1 2 C．2 D.1 4 答案 D 解析 因为抛物线的标准方程为 x2＝1 ay，所以其焦点坐标为(0， 1 4a)，则有 1 4a ＝1，a＝1 4 ，故 选 D. 4．若抛物线 y2＝2px 上一点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为( ) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x 答案 C 解析 ∵抛物线 y2＝2px，∴准线为 x＝－p 2. ∵点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，∴|－p 2 －2|＝4. ∴p＝4，∴抛物线的标准方程为 y2＝8x. 5．已知点 A(－2，3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率 为( ) A．－4 3 B．－1 C．－3 4 D．－1 2 答案 C 解析 因为点 A 在抛物线的准线上，所以－p 2 ＝－2，所以该抛物线的焦点 F(2，0)，所以 kAF ＝ 3－0 －2－2 ＝－3 4. 6．(2017·唐山一中模拟)抛物线 y2＝2px 上横坐标为 4 的点到此抛物线焦点的距离为 9，则 该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A．4 B．9 C．10 D．18 答案 C 解析 抛物线 y2＝2px 的焦点为(p 2 ，0)，准线为 x＝－p 2.由题意可得 4＋p 2 ＝9，解得 p＝10， 所以该抛物线的焦点到准线的距离为 p＝10. 7．(2017·山西八校联考)从抛物线 y2＝4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM| ＝5，设抛物线的焦点为 F，则△PMF 的面积为( ) A．5 B．10 C．20 D. 15 答案 B 解析 根据题意得点 P 的坐标为(4，4)或(4，－4)，所以 S△PMF＝1 2|yP||PM|＝1 2 ×4×5＝10.故 选 B. 8．(2017·广东广州一模)如果 P1，P2，…，Pn 是抛物线 C：y2＝4x 上的点，它们的横坐标依 次为 x1，x2，…，xn，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF| ＝( ) A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20 答案 A 解析 抛物线的焦点为(1，0)，准线方程为 x＝－1，由抛物线的定义，可知|P1F|＝x1＋1，|P2F| ＝x2＋1，…，故|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝n＋10. 9．(2017·郑州一中模拟)已知点 P(x，y)是抛物线 y2＝4x 上任意一点，Q 是圆 C：(x＋2)2＋(y －4)2＝1 上任意一点，则|PQ→|＋x 的最小值为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案 C 解析 抛物线 y2＝4x 的焦点为(1，0)，依抛物线定义，|PQ→|＋x＝|PQ|＋|PF|－1，当且仅当 P， F，Q 三点共线时，|PQ→|＋x 取最小值．圆 C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1 的圆心(－2，4)，所以|PQ→| ＋x 的最小值为|CF|－1－1＝5－2＝3.故选 C. 10．(2017·河南洛阳统一考试)已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 到准线的距离为 2，若抛物 线上一点 P 满足PF→＝2FM→ ，|PF→|＝3，则点 M 的坐标为( ) A．(1 2 ，2 2)或(1 2 ，－2 2) B．(1 2 ， 2)或(1 2 ，－ 2) C．(2 2，1 2)或(2 2，1 2) D．( 2，1 2)或( 2，－1 2) 答案 B 解析 由抛物线 y2＝2px 的焦点 F 到准线的距离为 2，知 p＝2，焦点 F(1，0)，由|PF→|＝3 知， P(2，±2 2)．设 M(x，y)，由PF→＝2FM→ ，得(－1，±2 2)＝2(x－1，y)，∴x＝1 2 ，y＝± 2. 故点 M 的坐标为(1 2 ， 2)或(1 2 ，－ 2)． 11．已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的动点，点 P 到准线的距离为 d，且点 P 在 y 轴上的射影 是 M，点 A(7 2 ，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( ) A.7 2 B．4 C.9 2 D．5 答案 C 解析 设抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，则 F(1 2 ，0)．又点 A(7 2 ，4)在抛物线的外侧，抛物线的 准线方程为 x＝－1 2 ，则|PM|＝d－1 2. 又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥9 2. 12．(2017·吉林长春调研测试)已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A.3 5 5 B．2 C.11 5 D．3 答案 B 解析 由题可知 l2：x＝－1 是抛物线 y2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1，0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线 l1： 4x－3y＋6＝0 的距离，所以最小值是|4－0＋6| 5 ＝2，故选 B. 13．点 A 是抛物线 C1：y2＝2px(p>0)与双曲线 C2：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交 点，若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p，则双曲线 C2 的离心率等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 答案 C 解析 求抛物线 C1：y2＝2px(p>0)与双曲线 C2：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点为 y2＝2px， y＝b ax， 解得 x＝2pa2 b2 ， y＝2pa b ， 所以2pa2 b2 ＝p 2 ，c2＝5a2，e＝ 5，故选 C. 14．(2013·新课标全国Ⅱ，理)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF| ＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的方程为( ) A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x 答案 C 解析 方法一：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义， 得|MF|＝x0＋p 2 ＝5，则 x0＝5－p 2. 又点 F 的坐标为(p 2 ，0)，所以以 MF 为直径的圆的方程为(x－x0)(x－p 2)＋(y－y0)y＝0. 将 x＝0，y＝2 代入得 px0＋8－4y0＝0，即y02 2 －4y0＋8＝0，所以 y0＝4. 由 y02＝2px0，得 16＝2p(5－p 2)，解之得 p＝2 或 p＝8. 所以 C 的方程为 y2＝4x 或 y2＝16x.故选 C. 方法二：由已知得抛物线的焦点 F(p 2 ，0)，设点 A(0，2)，抛物线上点 M(x0，y0)，则AF→＝(p 2 ， －2)，AM→ ＝(y02 2p ，y0－2)． 由已知得，AF→·AM→ ＝0，即 y02－8y0＋16＝0，因而 y0＝4，M(8 p ，4)． 由抛物线定义可知：|MF|＝8 p ＋p 2 ＝5. 又 p>0，解得 p＝2 或 p＝8，故选 C. 15．(2017·黑龙江大庆一模)已知圆 x2＋y2＋mx－1 4 ＝0 与抛物线 y2＝4x 的准线相切，则 m＝ ________． 答案 3 4 解析 圆 x2＋y2＋mx－1 4 ＝0 圆心为(－m 2 ，0)，半径 r＝ m2＋1 2 ，抛物线 y2＝4x 的准线为 x ＝－1.由|－m 2 ＋1|＝ m2＋1 2 ，得 m＝3 4. 16．一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2＝ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形 的面积为 36 3，则 a＝________． 答案 ±2 3 解析 设正三角形边长为 x，则 36 3＝1 2x2sin60°.∴x＝12. 当 a>0 时，将(6 3，6)代入 y2＝ax 得 a＝2 3. 当 a<0 时，将(－6 3，6)代入 y2＝ax 得 a＝－2 3，故 a＝±2 3. 17.如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米．水位下降 1 米后， 水面宽________米． 答案 2 6 解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0)， 由点(2，－2)在抛物线上，可得 p＝1，则抛物线方程为 x2＝－2y. 当 y＝－3 时，x＝± 6，所以水面宽为 2 6 米． 18．抛物线 y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方 程为 y＝2x，斜边长为 5 13，求此抛物线方程． 答案 y2＝4x 解析 设抛物线 y2＝2px(p>0)的内接直角三角形为 AOB，直角边 OA 所在直线方程为 y＝2x， 另一直角边所在直线方程为 y＝－1 2x. 解方程组 y＝2x， y2＝2px， 可得点 A 的坐标为 p 2 ，p ； 解方程组 y＝－1 2x， y2＝2px， 可得点 B 的坐标为(8p，－4p)． ∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5 13， ∴ p2 4 ＋p2 ＋(64p2＋16p2)＝325.∴p＝2，∴所求的抛物线方程为 y2＝4x. 1．抛物线 y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是( ) A．(0，a) B．(a，0) C．(0， 1 16a) D．( 1 16a ，0) 答案 C 解析 抛物线方程化标准方程为 x2＝ 1 4ay，焦点在 y 轴上，焦点为(0， 1 16a)． 2．已知点 A(－2，3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于 点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为( ) A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.4 3 答案 D 解析 先确定切线的方程，再联立方程组求解． 抛物线 y2＝2px 的准线为直线 x＝－p 2 ，而点 A(－2，3)在准线上，所以－p 2 ＝－2，即 p＝4， 从而 C：y2＝8x，焦点为 F(2，0)．设切线方程为 y－3＝k(x＋2)，代入 y2＝8x 得 k 8y2－y＋2k ＋3＝0(k≠0)①.由于Δ＝1－4×k 8 ·(2k＋3)＝0，所以 k＝－2 或 k＝1 2.因为切点在第一象限， 所以 k＝1 2. 将 k＝1 2 代入①中，得 y＝8，再代入 y2＝8x 中得 x＝8，所以点 B 的坐标为(8，8)，所以直线 BF 的斜率为8 6 ＝4 3. 3．(2017·广东湛江一中等四校联考)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线 上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则|MN| |AB| 的最大值为( ) A. 3 3 B．1 C.2 3 3 D．2 答案 A 解析 如图，过 B 作 BP 垂直于准线，过 A 作 AQ 垂直于准线．设|AF|＝a，|BF|＝b， 由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|， 在梯形 ABPQ 中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b. 由余弦定理得，|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab， 配方得，|AB|2＝(a＋b)2－ab，又 ab≤(a＋b 2 )2， 所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－1 4(a＋b)2＝3 4(a＋b)2. 得到|AB|≥ 3 2 (a＋b)． 所以|MN| |AB| ≤ 1 2 （a＋b） 3 2 （a＋b） ＝ 3 3 ，即|MN| |AB| 的最大值为 3 3 . 4．边长为 1 的等边三角形 AOB，O 为原点，AB⊥x 轴，以 O 为顶点，且过 A、B 的抛物 线方程是________． 答案 y2＝± 3 6 x 解析 根据题意可知抛物线以 x 轴为对称轴，当开口向右时，A 3 2 ，1 2 ，设抛物线方程为 y2＝2px，则有1 4 ＝2p· 3 2 ，所以 p＝ 1 4 3 . 抛物线方程为 y2＝ 3 6 x，同理可得，当开口向左时，抛物线方程为 y2＝－ 3 6 x. 6．(2017·北京顺义一模)已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA⊥l，垂足为 A.如果△APF 是边长为 4 的正三角形，那么此抛物线的焦点坐标为________， 点 P 的横坐标 xP＝________． 答案 (1，0)，3 解析 如图所示． 设 P(y02 2p ，y0)，则|PA|＝y02 2p ＋p 2 ＝4. ① 又在 Rt△AMF 中，∠AFM＝∠FAP＝60°， 故 tan∠AFM＝|AM| |MF| ＝|y0| p ＝ 3. ② 联立①②式，得 p＝2，|y0|＝2 3. 故焦点坐标为(1，0)，点 P 的横坐标为 x＝y02 2p ＝3. 7．已知圆的方程为 x2＋y2＝4，若抛物线过点 A(－1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线， 则抛物线的焦点的轨迹方程为( ) A.x2 4 －y2 3 ＝1(x≠0) B.x2 4 ＋y2 3 ＝1(x≠0) C.x2 4 －y2 3 ＝1(y≠0) D.x2 4 ＋y2 3 ＝1(y≠0) 答案 D 解析 设坐标原点为 O，抛物线的焦点为 F(x，y)，准线为 l，过点 A，B，O 分别作 AA′ ⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，A′，B′，P 分别为垂足，则|AA′|＋|BB′|＝2|OP|＝4.因为抛物 线过点 A，B，所以|FA|＝|AA′|，|FB|＝|BB′|，所以|FA|＋|FB|＝4>|AB|＝2，所以点 F 的 轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆．因为 A，B 在抛物线上，所以焦点 F 不在 x 轴上，所以抛物 线的焦点的轨迹方程是x2 4 ＋y2 3 ＝1(y≠0)． 8．已知定点 Q(2，－1)，F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，动点 P 为抛物线上任意一点，当|PQ| ＋|PF|取最小值时，P 的坐标为________． 答案 (1 4 ，－1) 解析 设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF| 取得最小值，即 D，P，Q 三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将 Q(2，－1)的纵坐标代入 y2＝4x 得 x＝1 4 ，故 P 的坐标为(1 4 ，－1)． 9．已知抛物线 y＝ax2－1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的 三角形面积为________． 答案 2 解析 y＝ax2－1 变形为 x2＝1 a(y＋1)，此抛物线焦点坐标为(0， 1 4a －1)， 由题意 1 4a －1＝0，∴a＝1 4. ∴抛物线为 y＝1 4x2－1，令 y＝0，得 x＝±2，如图．顶点 A(0，－1)，|BC|＝4. ∴S△ABC＝1 2|BC|·|AF|＝1 2 ×4×1＝2. 10．(2017·安徽六安一中第五次月考)直线 l 过抛物线 C：y＝1 4x2 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( ) A.4 3 B．2 C.8 3 D.16 2 3 答案 C 解析 抛物线 C：y＝1 4x2 的焦点 F(0，1)，直线 l 的方程为 y＝1.直线 l 与抛物线交于 A(－2， 1)，B(2，1)，故 l 与 C 所围成的图形的面积为错误!(1－1 4x2)dx＝8 3.故选 C. 11．(2017·合肥质检)已知抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为( ) A．± 3 B．±1 C．±3 4 D．± 3 3 答案 A 解析 设 M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋p 2 ＝2p，解得 xM＝3p 2 ，代入抛物线方程 可得 yM＝± 3p，则直线 MF 的斜率为 yM xM－p 2 ＝± 3p p ＝± 3，选项 A 正确．