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  • 2021-06-10 发布

高考理科数学复习练习作业65

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题组层级快练(六十五) 1.抛物线 x2=1 2y 的焦点到准线的距离是( ) A.2 B.1 C.1 2 D.1 4 答案 D 解析 抛物线标准方程 x2=2py(p>0)中 p 的几何意义为:抛物线的焦点到准线的距离,又 p =1 4 ,故选 D. 2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( ) A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x 答案 B 解析 因为抛物线的准线方程为 x=-2,所以p 2 =2,所以 p=4,所以抛物线的方程是 y2= 8x.所以选 B. 3.若抛物线 y=ax2 的焦点坐标是(0,1),则 a=( ) A.1 B.1 2 C.2 D.1 4 答案 D 解析 因为抛物线的标准方程为 x2=1 ay,所以其焦点坐标为(0, 1 4a),则有 1 4a =1,a=1 4 ,故 选 D. 4.若抛物线 y2=2px 上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方程为( ) A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x 答案 C 解析 ∵抛物线 y2=2px,∴准线为 x=-p 2. ∵点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,∴|-p 2 -2|=4. ∴p=4,∴抛物线的标准方程为 y2=8x. 5.已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率 为( ) A.-4 3 B.-1 C.-3 4 D.-1 2 答案 C 解析 因为点 A 在抛物线的准线上,所以-p 2 =-2,所以该抛物线的焦点 F(2,0),所以 kAF = 3-0 -2-2 =-3 4. 6.(2017·唐山一中模拟)抛物线 y2=2px 上横坐标为 4 的点到此抛物线焦点的距离为 9,则 该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A.4 B.9 C.10 D.18 答案 C 解析 抛物线 y2=2px 的焦点为(p 2 ,0),准线为 x=-p 2.由题意可得 4+p 2 =9,解得 p=10, 所以该抛物线的焦点到准线的距离为 p=10. 7.(2017·山西八校联考)从抛物线 y2=4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM| =5,设抛物线的焦点为 F,则△PMF 的面积为( ) A.5 B.10 C.20 D. 15 答案 B 解析 根据题意得点 P 的坐标为(4,4)或(4,-4),所以 S△PMF=1 2|yP||PM|=1 2 ×4×5=10.故 选 B. 8.(2017·广东广州一模)如果 P1,P2,…,Pn 是抛物线 C:y2=4x 上的点,它们的横坐标依 次为 x1,x2,…,xn,F 是抛物线 C 的焦点,若 x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF| =( ) A.n+10 B.n+20 C.2n+10 D.2n+20 答案 A 解析 抛物线的焦点为(1,0),准线方程为 x=-1,由抛物线的定义,可知|P1F|=x1+1,|P2F| =x2+1,…,故|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=n+10. 9.(2017·郑州一中模拟)已知点 P(x,y)是抛物线 y2=4x 上任意一点,Q 是圆 C:(x+2)2+(y -4)2=1 上任意一点,则|PQ→|+x 的最小值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 C 解析 抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),依抛物线定义,|PQ→|+x=|PQ|+|PF|-1,当且仅当 P, F,Q 三点共线时,|PQ→|+x 取最小值.圆 C:(x+2)2+(y-4)2=1 的圆心(-2,4),所以|PQ→| +x 的最小值为|CF|-1-1=5-2=3.故选 C. 10.(2017·河南洛阳统一考试)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 到准线的距离为 2,若抛物 线上一点 P 满足PF→=2FM→ ,|PF→|=3,则点 M 的坐标为( ) A.(1 2 ,2 2)或(1 2 ,-2 2) B.(1 2 , 2)或(1 2 ,- 2) C.(2 2,1 2)或(2 2,1 2) D.( 2,1 2)或( 2,-1 2) 答案 B 解析 由抛物线 y2=2px 的焦点 F 到准线的距离为 2,知 p=2,焦点 F(1,0),由|PF→|=3 知, P(2,±2 2).设 M(x,y),由PF→=2FM→ ,得(-1,±2 2)=2(x-1,y),∴x=1 2 ,y=± 2. 故点 M 的坐标为(1 2 , 2)或(1 2 ,- 2). 11.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d,且点 P 在 y 轴上的射影 是 M,点 A(7 2 ,4),则|PA|+|PM|的最小值是( ) A.7 2 B.4 C.9 2 D.5 答案 C 解析 设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,则 F(1 2 ,0).又点 A(7 2 ,4)在抛物线的外侧,抛物线的 准线方程为 x=-1 2 ,则|PM|=d-1 2. 又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=5,所以|PA|+|PM|≥9 2. 12.(2017·吉林长春调研测试)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A.3 5 5 B.2 C.11 5 D.3 答案 B 解析 由题可知 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,设抛物线的焦点为 F(1,0),则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|,则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值,即焦点 F 到直线 l1: 4x-3y+6=0 的距离,所以最小值是|4-0+6| 5 =2,故选 B. 13.点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双曲线 C2:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线的交 点,若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 答案 C 解析 求抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双曲线 C2:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点为 y2=2px, y=b ax, 解得 x=2pa2 b2 , y=2pa b , 所以2pa2 b2 =p 2 ,c2=5a2,e= 5,故选 C. 14.(2013·新课标全国Ⅱ,理)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF| =5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ) A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x 答案 C 解析 方法一:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义, 得|MF|=x0+p 2 =5,则 x0=5-p 2. 又点 F 的坐标为(p 2 ,0),所以以 MF 为直径的圆的方程为(x-x0)(x-p 2)+(y-y0)y=0. 将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0,即y02 2 -4y0+8=0,所以 y0=4. 由 y02=2px0,得 16=2p(5-p 2),解之得 p=2 或 p=8. 所以 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.故选 C. 方法二:由已知得抛物线的焦点 F(p 2 ,0),设点 A(0,2),抛物线上点 M(x0,y0),则AF→=(p 2 , -2),AM→ =(y02 2p ,y0-2). 由已知得,AF→·AM→ =0,即 y02-8y0+16=0,因而 y0=4,M(8 p ,4). 由抛物线定义可知:|MF|=8 p +p 2 =5. 又 p>0,解得 p=2 或 p=8,故选 C. 15.(2017·黑龙江大庆一模)已知圆 x2+y2+mx-1 4 =0 与抛物线 y2=4x 的准线相切,则 m= ________. 答案 3 4 解析 圆 x2+y2+mx-1 4 =0 圆心为(-m 2 ,0),半径 r= m2+1 2 ,抛物线 y2=4x 的准线为 x =-1.由|-m 2 +1|= m2+1 2 ,得 m=3 4. 16.一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=ax 上,另一个顶点在坐标原点,若这个三角形 的面积为 36 3,则 a=________. 答案 ±2 3 解析 设正三角形边长为 x,则 36 3=1 2x2sin60°.∴x=12. 当 a>0 时,将(6 3,6)代入 y2=ax 得 a=2 3. 当 a<0 时,将(-6 3,6)代入 y2=ax 得 a=-2 3,故 a=±2 3. 17.如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后, 水面宽________米. 答案 2 6 解析 建立如图所示的平面直角坐标系, 设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0), 由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x2=-2y. 当 y=-3 时,x=± 6,所以水面宽为 2 6 米. 18.抛物线 y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形,直角顶点是原点,一条直角边所在直线方 程为 y=2x,斜边长为 5 13,求此抛物线方程. 答案 y2=4x 解析 设抛物线 y2=2px(p>0)的内接直角三角形为 AOB,直角边 OA 所在直线方程为 y=2x, 另一直角边所在直线方程为 y=-1 2x. 解方程组 y=2x, y2=2px, 可得点 A 的坐标为 p 2 ,p ; 解方程组 y=-1 2x, y2=2px, 可得点 B 的坐标为(8p,-4p). ∵|OA|2+|OB|2=|AB|2,且|AB|=5 13, ∴ p2 4 +p2 +(64p2+16p2)=325.∴p=2,∴所求的抛物线方程为 y2=4x. 1.抛物线 y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( ) A.(0,a) B.(a,0) C.(0, 1 16a) D.( 1 16a ,0) 答案 C 解析 抛物线方程化标准方程为 x2= 1 4ay,焦点在 y 轴上,焦点为(0, 1 16a). 2.已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于 点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.4 3 答案 D 解析 先确定切线的方程,再联立方程组求解. 抛物线 y2=2px 的准线为直线 x=-p 2 ,而点 A(-2,3)在准线上,所以-p 2 =-2,即 p=4, 从而 C:y2=8x,焦点为 F(2,0).设切线方程为 y-3=k(x+2),代入 y2=8x 得 k 8y2-y+2k +3=0(k≠0)①.由于Δ=1-4×k 8 ·(2k+3)=0,所以 k=-2 或 k=1 2.因为切点在第一象限, 所以 k=1 2. 将 k=1 2 代入①中,得 y=8,再代入 y2=8x 中得 x=8,所以点 B 的坐标为(8,8),所以直线 BF 的斜率为8 6 =4 3. 3.(2017·广东湛江一中等四校联考)抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线 上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则|MN| |AB| 的最大值为( ) A. 3 3 B.1 C.2 3 3 D.2 答案 A 解析 如图,过 B 作 BP 垂直于准线,过 A 作 AQ 垂直于准线.设|AF|=a,|BF|=b, 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|, 在梯形 ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab, 配方得,|AB|2=(a+b)2-ab,又 ab≤(a+b 2 )2, 所以(a+b)2-ab≥(a+b)2-1 4(a+b)2=3 4(a+b)2. 得到|AB|≥ 3 2 (a+b). 所以|MN| |AB| ≤ 1 2 (a+b) 3 2 (a+b) = 3 3 ,即|MN| |AB| 的最大值为 3 3 . 4.边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点,且过 A、B 的抛物 线方程是________. 答案 y2=± 3 6 x 解析 根据题意可知抛物线以 x 轴为对称轴,当开口向右时,A 3 2 ,1 2 ,设抛物线方程为 y2=2px,则有1 4 =2p· 3 2 ,所以 p= 1 4 3 . 抛物线方程为 y2= 3 6 x,同理可得,当开口向左时,抛物线方程为 y2=- 3 6 x. 6.(2017·北京顺义一模)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点, PA⊥l,垂足为 A.如果△APF 是边长为 4 的正三角形,那么此抛物线的焦点坐标为________, 点 P 的横坐标 xP=________. 答案 (1,0),3 解析 如图所示. 设 P(y02 2p ,y0),则|PA|=y02 2p +p 2 =4. ① 又在 Rt△AMF 中,∠AFM=∠FAP=60°, 故 tan∠AFM=|AM| |MF| =|y0| p = 3. ② 联立①②式,得 p=2,|y0|=2 3. 故焦点坐标为(1,0),点 P 的横坐标为 x=y02 2p =3. 7.已知圆的方程为 x2+y2=4,若抛物线过点 A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点的轨迹方程为( ) A.x2 4 -y2 3 =1(x≠0) B.x2 4 +y2 3 =1(x≠0) C.x2 4 -y2 3 =1(y≠0) D.x2 4 +y2 3 =1(y≠0) 答案 D 解析 设坐标原点为 O,抛物线的焦点为 F(x,y),准线为 l,过点 A,B,O 分别作 AA′ ⊥l,BB′⊥l,OP⊥l,A′,B′,P 分别为垂足,则|AA′|+|BB′|=2|OP|=4.因为抛物 线过点 A,B,所以|FA|=|AA′|,|FB|=|BB′|,所以|FA|+|FB|=4>|AB|=2,所以点 F 的 轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆.因为 A,B 在抛物线上,所以焦点 F 不在 x 轴上,所以抛物 线的焦点的轨迹方程是x2 4 +y2 3 =1(y≠0). 8.已知定点 Q(2,-1),F 为抛物线 y2=4x 的焦点,动点 P 为抛物线上任意一点,当|PQ| +|PF|取最小值时,P 的坐标为________. 答案 (1 4 ,-1) 解析 设点 P 在准线上的射影为 D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,∴要使|PQ|+|PF| 取得最小值,即 D,P,Q 三点共线时|PQ|+|PF|最小.将 Q(2,-1)的纵坐标代入 y2=4x 得 x=1 4 ,故 P 的坐标为(1 4 ,-1). 9.已知抛物线 y=ax2-1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的 三角形面积为________. 答案 2 解析 y=ax2-1 变形为 x2=1 a(y+1),此抛物线焦点坐标为(0, 1 4a -1), 由题意 1 4a -1=0,∴a=1 4. ∴抛物线为 y=1 4x2-1,令 y=0,得 x=±2,如图.顶点 A(0,-1),|BC|=4. ∴S△ABC=1 2|BC|·|AF|=1 2 ×4×1=2. 10.(2017·安徽六安一中第五次月考)直线 l 过抛物线 C:y=1 4x2 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( ) A.4 3 B.2 C.8 3 D.16 2 3 答案 C 解析 抛物线 C:y=1 4x2 的焦点 F(0,1),直线 l 的方程为 y=1.直线 l 与抛物线交于 A(-2, 1),B(2,1),故 l 与 C 所围成的图形的面积为错误!(1-1 4x2)dx=8 3.故选 C. 11.(2017·合肥质检)已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p,则直线 MF 的斜率为( ) A.± 3 B.±1 C.±3 4 D.± 3 3 答案 A 解析 设 M(xM,yM),由抛物线定义可得|MF|=xM+p 2 =2p,解得 xM=3p 2 ,代入抛物线方程 可得 yM=± 3p,则直线 MF 的斜率为 yM xM-p 2 =± 3p p =± 3,选项 A 正确.