人教a版高中数学选修1-1考前过关训练第三课导数及其应用word版含答案 6页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 考前过关训练(三) 导数及其应用 (30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2016·临沂高二检测)曲线 y=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程是 ( ) A.y=3x-1 B.y=-3x+5 C.y=3x+5 D.y=2x 【解析】选 A.y′=-3x2+6x,曲线在点(1,2)处的切线斜率 k=-3×12+6×1=3,又切线过点(1,2), 则切线方程为 y-2=3(x-1),整理得:y=3x-1. 【补偿训练】若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程 为 ( ) A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 【解析】选 A.与直线 x+4y-8=0 垂直的直线 l 为 4x-y+m=0,即 y=x4 在某一点的导数为 4.而 y′ =4x3,所以 y=x4 在(1,1)处导数为 4,此点处的切线方程为 4x-y-3=0. 2.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能为 ( ) 【解析】选 D.原函数的单调性是:当 x<0 时,增;当 x>0 时,单调性变化依次为增、减、增.故 当 x<0 时,f′(x)>0;当 x>0 时,f′(x)的符号变化依次为+,-,+. 3.如图所示是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象,则 + 等于 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.由图象知 f(x)=0 的根为 0,1,2, 所以 d=0. 所以 f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c). 所以 x2+bx+c=0 的两根为 1 和 2. 所以 b=-3,c=2. 所以 f(x)=x3-3x2+2x,则 f′(x)=3x2-6x+2. 因为 x1,x2 是方程 f′(x)=0 的两根, 所以 x1+x2=2,x1x2= . 所以 + =(x1+x2)2-2x1x2=22-2× = . 4.(2016·聊城高三模拟)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0 对任意正数 a,b,若 a0,x2>0,所以 k1·k2≠-1,所以函数 y=lnx 不 具有 T 性质. 对于 C,函数 y=ex,y′=ex,k1= ,k2= ,显然均大于 0.所以函数 y=ex 不具有 T 性质. 对于 D,函数 y=x3,y′=3x2,k1=3 ,k2=3 ,显然 k1·k2≠-1,所以函数 y=x3 不具有 T 性质. 6.把一个周长为 12 的长方形卷成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的 比为 ( ) A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π 【解析】选 C.设圆柱高为 x,即长方形的宽为 x, 则圆柱底面周长即长方形的长为 =6-x, 所以圆柱底面半径:R= , 所以圆柱的体积 V=πR2h=π x = , 所以 V′= = , 当 x<2 或 x>6 时,V′>0,函数单调递增; 当 26 时,函数无实际意义, 所以 x=2 时体积最大,此时底面周长=6-2=4, 该圆柱底面周长与高的比:4∶2=2∶1. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2016·海南高二检测)函数 f(x)=ax3+x+1 有极值的充要条件是 . 【解析】要使 f′(x)=3ax2+1=0 有解, 则 x2=- >0, 所以函数 f(x)有极值的充要条件是 a<0. 答案:a<0 8.(2016·武汉高二调研)若函数 y=- x3+ax 有三个单调区间,则 a 的取值范围是 . 【解析】因为 y′=-4x2+a,且 y 有三个单调区间, 所以方程 y′=-4x2+a=0 有两个不等的实根, 所以Δ=02-4×(-4)×a>0, 所以 a>0. 答案:(0,+∞) 9.(2016·温州高二检测)函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak, )处的切线与 x 轴的交点的横坐 标为 ak+1,其中 k∈N*.若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是 . 【解析】因为 y′=2x,所以点(ak, )处的切线方程为 y- =2ak(x-ak),又该切线与 x 轴的 交点为(ak+1,0),所以 ak+1= ak,即数列{ak}是等比数列,首项 a1=16,公比 q= ,所以 a3=4,a5=1, 所以 a1+a3+a5=21. 答案:21 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.已知 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=1 与 x=-2 时,都取得极值. (1)求 a,b 的值. (2)若 x∈时,都有 f(x)> - 恒成立,求 c 的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=3x2+2ax+b, 根据题意有 即 解得 (2)由 (1)知 f′(x)=3x2+3x-6, 令 f′(x)=0 得 x=-2 或 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x -3 (-3,-2) -2 (-2,1) 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 - 0 + f(x) +c ↗ 极大值 c+10 ↘ 极小值 c- ↗ 2+c 所以 f(x)在上的最小值为 c- . 即 - . 11.已知函数 f(x)= x2+lnx. (1)求函数 f(x)在上的最大值与最小值. (2)求证:在区间上,f′(x)>0, 所以函数 f(x)是增函数, 所以 f(x)max=f(e)= e2+1,f(x)min=f(1)= . (2)设 F(x)=f(x)-g(x)= x2+lnx- x3, 则 F′(x)=x+ -2x2= . 因为当 x>1 时,F′(x)<0, 所以函数 F(x)在(1,+∞)上为减函数, 又因为 F(x)max=F(1)=- <0, 所以在[1,+∞)上,恒有 F(x)<0, 即 f(x)