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- 2021-06-10 发布
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§1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数
的图象.
1.正弦曲线、余弦曲线
2.“五点法”画图
画正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是_________________________;
画余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是__________________________.
3.正、余弦曲线的联系
依据诱导公式 cos x=sin x+π
2 ,要得到 y=cos x 的图象,只需把 y=sin x 的图象向________
平移π
2
个单位长度即可.
一、选择题
1.函数 y=sin x (x∈R)图象的一条对称轴是( )
A.x 轴 B.y 轴
C.直线 y=x D.直线 x=π
2
2.函数 y=cos x(x∈R)的图象向右平移π
2
个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析
式为( )
A.-sin x B.sin x
C.-cos x D.cos x
3.函数 y=-sin x,x∈[-π
2
,3π
2 ]的简图是( )
4.在(0,2π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是( )
A.
π
4
,3π
4 B.
π
4
,π
2 ∪
5π
4
,3π
2
C.
π
4
,π
2 D.
5π
4
,7π
4
5.若函数 y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图
形的面积是( )
A.4 B.8 C.2π D.4π
6.方程 sin x=lg x 的解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7.函数 y=sin x,x∈R 的图象向右平移π
2
个单位后所得图象对应的函数解析式是__________.
8.函数 y= 2cos x+1的定义域是________________.
9.方程 x2-cos x=0 的实数解的个数是________.
10.设 0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则 x 的取值范围为________.
三、解答题
11.利用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=1-sin x(0≤x≤2π);
(2)y=-1-cos x(0≤x≤2π).
12.分别作出下列函数的图象.
(1)y=|sin x|,x∈R;
(2)y=sin|x|,x∈R.
能力提升
13.求函数 f(x)=lg sin x+ 16-x2的定义域.
14.函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,求 k
的取值范围.
1.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用,是运用数形结合思想
解决三角函数问题的基础.
2.五点法是画三角函数图象的基本方法,要熟练掌握,与五点法作图有关的问题是高考常
考知识点之一.
§1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
答案
知识梳理
2.(0,0),
π
2
,1 ,(π,0),
3
2π,-1 ,(2π,0) (0,1),
π
2
,0 ,(π,-1),
3
2π,0 ,(2π,1)
3.左
作业设计
1.D 2.B 3.D
4.A [
∵sin x>|cos x|,
∴sin x>0,∴x∈(0,π),在同一坐标系中画出 y=sin x,x∈(0,π)与 y=|cos x|,x∈(0,π)
的图象,观察图象易得 x∈
π
4
,3
4π .]
5.D [
作出函数 y=2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数 y=2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线 y=2 围成的
平面图形,如图所示的阴影部分.
利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形 OABC 的面积,又∵|OA|=2,|OC|=2π,
∴S 平面图形=S 矩形 OABC=2×2π=4π.]
6.C [用五点法画出函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移 2π个单位,
得到 y=sin x 的图象.
描出点
1
10
,-1 ,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到 y=lg x 的图象,如图所示.
由图象可知方程 sin x=lg x 的解有 3 个.]
7.y=-cos x
解析 y=sin x 2
向右平移 个单位
y=sin x-π
2
∵sin x-π
2 =-sin
π
2
-x =-cos x,∴y=-cos x.
8. 2kπ-2
3π,2kπ+2
3π ,k∈Z
解析 2cos x+1≥0,cos x≥-1
2
,结合图象知 x∈ 2kπ-2
3π,2kπ+2π
3 ,k∈Z.
9.2
解析 作函数 y=cos x 与 y=x2 的图象,如图所示,
由图象,可知原方程有两个实数解.
10.
π
4
,5π
4
解析 由题意知 sin x-cos x≥0,即 cos x≤sin x,在同一坐标系画出 y=sin x,x∈[0,2π]与
y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示:
观察图象知 x∈[π
4
,5
4π].
11.解 利用“五点法”作图
(1)列表:
X 0 π
2 π 3π
2 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-sin x 1 0 1 2 1
描点作图,如图所示.
(2)列表:
X 0 π
2 π 3π
2 2π
cos x 1 0 -1 0 1
-1-cos x -2 -1 0 -1 -2
描点作图,如图所示.
12.解 (1)y=|sin x|= sin x 2kπ≤x≤2kπ+π
-sin x 2kπ+π0
16-x2≥0
,即 -4≤x≤4
sin x>0
,作出 y=sin x 的图象,
如图所示.
结合图象可得:x∈[-4,-π)∪(0,π).
14.解 f(x)=sin x+2|sin x|= 3sin x x∈[0,π],
-sin x x∈π,2π].
图象如图,
若使 f(x)的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,根据上图可得 k 的取值范围是(1,3).
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