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- 2021-06-11 发布
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§1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
课时目标 1.会用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象.2.明确函数 f(x)=Asin(ωx+
φ)(A、ω、φ为常数,A>0,ω>0)中常数 A、ω、φ的物理意义.理解振幅、频率、相位、初相
的概念.3.了解函数 f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称性(如对称轴,对称中心).
1.简谐振动
简谐振动 y=Asin(ωx+φ)中,______叫做振幅,周期 T=______,频率 f=______,相位是
______,初相是______.
2.函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的性质如下:
定义域 R
值域 __________
周期性 T=____________
奇偶性
φ=______________时是奇函数;φ=____________________________时是偶函数;
当φ≠kπ
2
(k∈Z)时是__________函数
单调性
单调增区间可由__________________________________________得到,单调减区
间可由______________________________得到
一、选择题
1.函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)为偶函数的条件是( )
A.φ=π
2
+2kπ (k∈Z) B.φ=π
2
+kπ (k∈Z)
C.φ=2kπ (k∈Z) D.φ=kπ(k∈Z)
2.已知简谐运动 f(x)=2sin
π
3
x+φ
(|φ|<π
2
)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T
和初相φ分别为( )
A.T=6,φ=π
6
B.T=6,φ=π
3
C.T=6π,φ=π
6
D.T=6π,φ=π
3
3.下列函数中,图象的一部分如下图所示的是( )
A.y=sin
x+π
6
B.y=sin
2x-π
6
C.y=cos
4x-π
3
D.y=cos
2x-π
6
4.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2
)的部分图象如图所示,则( )
A.ω=1,φ=π
6
B.ω=1,φ=-
π
6
C.ω=2,φ=π
6
D.ω=2,φ=-
π
6
5.函数 y=sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则( )
A.ω=π
2
,φ=π
4
B.ω=π
3
,φ=π
6
C.ω=π
4
,φ=π
4
D.ω=π
4
,φ=5π
4
6.设函数 f(x)=2sin
π
2
x+π
5 ,若对于任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最
小值为( )
A.4 B.2 C.1 D.1
2
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7.函数 y=1
2
sin
2x-π
6 与 y轴最近的对称轴方程是__________.
8.已知函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,-π≤φ<π)的图象如下图所示,则φ=________.
9.函数 y=sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于 x=π
6
对称,则φ的最小
值是________.
10.关于 f(x)=4sin
2x+π
3 (x∈R),有下列命题
①由 f(x1)=f(x2)=0可得 x1-x2是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写成 y=4cos
2x-π
6 ;
③y=f(x)图象关于
-
π
6
,0
对称;
④y=f(x)图象关于 x=-
π
6
对称.
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上).
三、解答题
11.已知曲线 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为
π
8
, 2
,此点到相邻最
低点间的曲线与 x轴交于点
3
8
π,0
,若φ∈
-
π
2
,
π
2 .
(1)试求这条曲线的函数表达式;
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.
12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M
3π
4
,0
对
称,且在区间
0,π
2 上是单调函数,求φ和ω的值.
能力提升
13.右图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间[-π
6
,
5π
6
]上的图象.为了得到这个函数的图象,
只要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点( )
A.向左平移
π
3
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍,纵坐标不变
B.向左平移
π
3
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变
C.向左平移
π
6
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍,纵坐标不变
D.向左平移
π
6
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变
14.如果函数 y=sin 2x+acos 2x的图象关于直线 x=-
π
8
对称,那么 a等于( )
A. 2 B.- 2 C.1 D.-
1
1.由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A,ω,φ的值.
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为 T=2π
ω
,所以往往通过求周期 T来确定ω,可通过已知曲线与 x轴的交点从而确定 T,
即相邻的最高点与最低点之间的距离为
T
2
;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为 T.
(3)从寻找“五点法”中的第一零点
-
φ
ω
,0
(也叫初始点)作为突破口.以 y=Asin(ωx+
φ)(A>0,ω>0)为例,位于单调递增区间上离 y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第
一个点.
2.在研究 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质时,注意采用整体代换的思想.如,它在ωx+
φ=π
2
+2kπ(k∈Z)时取得最大值,在ωx+φ=3π
2
+2kπ(k∈Z)时取得最小值.
§1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
答案
知识梳理
1.A 2π
ω
ω
2π
ωx+φ φ
2.[-A,A] 2π
|ω|
kπ (k∈Z) π
2
+kπ (k∈Z) 非奇非偶 2kπ-π
2
≤ωx+φ≤2kπ+π
2
(k∈Z)
2kπ+π
2
≤ωx+φ≤2kπ+3π
2
(k∈Z)
作业设计
1.B
2.A [T=2π
ω
=
2π
π
3
=6,代入(0,1)点得 sin φ=1
2
.∵-
π
2
<φ<π
2
,∴φ=π
6
.]
3.D [由图知 T=4×
π
12
+
π
6 =π,∴ω=2π
T
=2.又 x= π
12
时,y=1.]
4.D [由图象知
T
4
=
7π
12
-
π
3
=
π
4
,∴T=π,ω=2.且 2×7π
12
+φ=kπ+π(k∈Z),φ=kπ-π
6
(k∈
Z).
又|φ|<π
2
,∴φ=-
π
6
.]
5.C [由
ω×1+φ=π
2
ω×3+φ=π
,解得
ω=π
4
φ=π
4
.]
6.B [对任意 x∈R,f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立.
∴f(x1)=f(x)min=-2,f(x2)=f(x)max=2.
∴|x1-x2|min=
T
2
=
1
2
×
2π
π
2
=2.]
7.x=-
π
6
解析 令 2x-π
6
=kπ+π
2
(k∈Z),∴x=kπ
2
+
π
3
(k∈Z).由 k=0,得 x=π
3
;由 k=-1,得 x=-
π
6
.
8.9π
10
解析 由图象知函数 y=sin(ωx+φ)的周期为
2
2π-3π
4 =
5π
2
,∴
2π
ω
=
5π
2
,∴ω=4
5
.
∵当 x=3
4
π时,y有最小值-1,
∴
4
5
×
3π
4
+φ=2kπ-π
2
(k∈Z).
∵-π≤φ<π,∴φ=9π
10
.
9.5π
12
解析 y=sin 2x向右平移φ个单位得
f(x)=sin 2(x-φ)=sin(2x-2φ).
由 f
π
6 =sin
π
3
-2φ
=±1,
∴
π
3
-2φ=kπ+π
2
(k∈Z),
∴2φ=-kπ-π
6
,令 k=-1,得 2φ=5
6
π,
∴φ= 5
12
π或作出 y=sin 2x的图象观察易知φ=π
6
-
-
π
4 =
5
12
π.
10.②③
解析 对于①,由 f(x)=0,可得 2x+π
3
=kπ (k∈Z).
∴x=k
2
π-π
6
,∴x1-x2是π
2
的整数倍,∴①错;
对于②,f(x)=4sin
2x+π
3 利用公式得:
f(x)=4cos
π
2
-
2x+π
3
=4cos
2x-π
6 .
∴②对;
对于③,f(x)=4sin
2x+π
3 的对称中心满足 2x+π
3
=kπ,
∴x=k
2
π-π
6
,
∴
-
π
6
,0
是函数 y=f(x)的一个对称中心.∴③对;
对于④,函数 y=f(x)的对称轴满足 2x+π
3
=
π
2
+kπ,
∴x= π
12
+
kπ
2
.∴④错.
11.解 (1)由题意知 A= 2,T=4×
3
8
π-π
8 =π,
ω=2π
T
=2,∴y= 2sin(2x+φ).
又∵sin
π
8
×2+φ
=1,∴
π
4
+φ=2kπ+π
2
,k∈Z,
∴φ=2kπ+π
4
,k∈Z,
又∵φ∈
-
π
2
,
π
2 ,∴φ=π
4
.
∴y= 2sin
2x+π
4
(2)列出 x、y的对应值表:
x -
π
8
π
8
3
8
π 5
8
π 7
8
π
2x+π
4
0
π
2
π
3
2
π 2π
y 0 2 0 - 2 0
描点,连线,如图所示:
12.解 ∵f(x)在 R 上是偶函数,
∴当 x=0时,f(x)取得最大值或最小值.
即 sin φ=±1,得φ=kπ+π
2
,k∈Z,又 0≤φ≤π,∴φ=π
2
.
由图象关于 M
3
4
π,0
对称可知,sin
3
4
πω+π
2 =0,解得ω=4
3
k-2
3
,k∈Z.
又 f(x)在
0,π
2 上单调函数,所以 T≥π,即
2π
ω
≥π,
∴ω≤2,又ω>0,
∴当 k=1时,ω=2
3
;当 k=2时,ω=2.
13.A [由图象可知 A=1,T=5π
6
-(-π
6
)=π,∴ω=2π
T
=2.
∵图象过点(π
3
,0),∴sin(2π
3
+φ)=0,∴
2π
3
+φ=π+2kπ,k∈Z,
∴φ=π
3
+2kπ,k∈Z.∴y=sin(2x+π
3
+2kπ)=sin(2x+π
3
).
故将函数 y=sin x先向左平移
π
3
个单位长度后,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍,
纵坐标不变,可得原函数的图象.]
14.D [方法一 ∵函数 y=sin 2x+acos 2x的图象关于 x=-
π
8
对称,
设 f(x)=sin 2x+acos 2x,则 f
-
π
4 =f(0)
∴sin
-
π
2 +acos
-
π
2 =sin 0+acos 0.∴a=-1.
方法二 由题意得 f
-
π
8
-x
=f
-
π
8
+x
,
令 x=π
8
,有 f
-
π
4 =f(0),即-1=a.]
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