2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式优化练习 5页

‎1 绝对值三角不等式 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．设ab＞0，下面四个不等式：①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|中，正确的是(　　)‎ A．①和②　　　　　　　 B．①和③‎ C．①和④ D．②和④‎ 解析：∵ab＞0，①|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a|，正确；‎ ‎②|a＋b|＝|a|＋|b|＞|b|，所以②错；‎ ‎③|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a－b|，所以③错；‎ ‎④|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a－b|≥|a|－|b|，正确．‎ 所以①④正确，应选C.‎ 答案：C ‎2．已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|1 B．m≥1‎ C．m>2 D．m≥2‎ 解析：∵|x－5|＋|x－3|≥|x－5＋3－x|＝2，‎ ‎∴|x－5|＋|x－3|的最小值为2.‎ ‎∴要使|x－5|＋|x－3|2.‎ 答案：C ‎3．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是(　　)‎ A．m>n B．mb>c>0)；‎ ‎③>(a，b，m>0，ab>0⇒>即>，‎ 又由于c>0，‎ 故有>；‎ ‎③成立，因为－＝>0(a，b，m>0，a；‎ ‎④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a＋b|＋|b－a|≥|(a＋b)－(b－a)|＝|‎2a|≥‎2a，故选B.‎ 答案：B ‎6．已知|a＋b|<－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：‎ ‎①a<－b－c；②a>－b＋c；③a－b＋c，①②成立，‎ ‎|a|－|b|<|a＋b|<－c，‎ ‎∴|a|<|b|－c，④成立．‎ 答案：①②④‎ ‎7．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________．‎ 解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当4≤x≤6时，等号成立．‎ 答案：2‎ 5‎ ‎8．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为________．‎ 解析：∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|‎ ‎≥|4－x＋x＋5|＝9.‎ ‎∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．‎ 答案：(－∞，9)‎ ‎9．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．‎ 证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|‎ ‎＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|‎ ‎＝|(x－a)＋(‎2a－1)|≤|x－a|＋|‎2a－1|≤|x－a|＋|‎2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．‎ ‎10．已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．‎ ‎(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．‎ 解析：(1)函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0，‎ 即|x－1|＋|x－5|＞a，‎ 设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，‎ 由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，‎ 可知g(x)min＝4，‎ ‎∴f(x)min＝log2(4－2)＝1.‎ ‎(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4.‎ ‎∵|x－1|＋|x－5|－a>0，‎ ‎∴a2 B．|a＋b|＋|a－b|<2‎ C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小 解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.‎ 当(a＋b)(a－b)<0时，‎ ‎|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.‎ 答案：B ‎2．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 5‎ 解析：∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，‎ ‎|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.‎ 答案：C ‎3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．‎ 解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|‎ ‎≤|x－1|＋|2 (y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，‎ 即|x－2y＋1|的最大值为5.‎ 答案：5‎ ‎4．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数．给出下列函数：‎ ‎①f(x)＝0；②f(x)＝x2；③f(x)＝(sin x＋cos x)；④f(x)＝；⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|.其中是F函数的序号是________．‎ 解析：由|f(x)|≤m|x|，当x≠0时，知m≥，对于①，有＝0，x≠0，故取m>0即可；对于②，由|x2|＝|x|2，∴＝|x|，无最大值；对于③，由f(x)＝2sin(x＋)，而＝无最大值；对于④，由＝≤，x≠0，只要取m＝即可；‎ 对于⑤，令x2＝0，x1＝x，由f(0)＝0，知|f(x)|≤2|x|.‎ 答案：①④⑤‎ ‎5．对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m，求m的值．‎ 解析：不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，‎ 即左边恒小于或等于右边的最小值．‎ 因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，‎ 当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，‎ 即|a|≥|b|时，等号成立，‎ 5‎ 也就是的最小值是2.‎ 所以m＝2.‎ ‎6．已知|x1－2|<1，|x2－2|<1.‎ ‎(1)求证：20，‎ ‎∴|x1－x2|<|x1－x2|·|x1＋x2－1|<5|x1－x2|，‎ 即|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|.‎ 5‎