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- 2021-06-11 发布
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课时跟踪检测（六）函数的极值与导数
A级——学考水平达标
1．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是( )
A．有极小值 B．有极大值
C．既有极大值又有极小值 D．无极值
解析：选D ∵y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值.
2．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为( )
A．0,1，－1 B.
C．－ D.，－
解析：选B 由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当00，即x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.
4．若函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a的值是( )
A．0 B．1
C．5 D．6
解析：选D ∵f(x)＝2x3－3x2＋a，
∴f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1，
经判断易知极大值为f(0)＝a＝6，
7
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
解析：选A f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0，
得解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值，当x＝1时f(x)取极小值0.
6．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值，且极小值为________．
解析：f′(x)＝3x2－6x，
解方程f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
由上表知，函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝2处取得极小值．∴极小值为f(2)＝8－12＋1＝－3.
答案：2 －3
7．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝处有极值，则b的值为________．
解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函数f(x)在x＝处有极值，
∴f′＝2a·＋b＝0，即b＝－2.
答案：－2
8.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)
①当x＝时，函数f(x)取得最小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数值取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
7
解析：由图象可知，x＝1，x＝2是函数的两极值点，
∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，
f′(x)＞0；x∈(1,2)时，f′(x)＜0，
∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．
答案：①
9．求函数f(x)＝－2的极值．
解：函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
－3
－1
所以当x＝－1时，函数有极小值，且f(x)极小值＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且f(x)极大值＝－1.
10．设函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．
(1)求a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
解：(1)f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx
＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
因为x＝－2和x＝1是f(x)的极值点，
所以f′(－2)＝f′(1)＝0，
即解方程组得
(2)因为a＝－，b＝－1，
所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
因为当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增；
在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减．
B级——高考能力达标
7
1．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1,3
C．－1,3 D．－1，－3
解析：选A ∵f′(x)＝3ax2＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴∴a＝1，b＝－3.
2．设函数f(x)＝exsin x，x∈[0，π]，则( )
A．x＝为f(x)的极小值点
B．x＝为f(x)的极大值点
C．x＝为f(x)的极小值点
D．x＝为f(x)的极大值点
解析：选D ∵f(x)＝exsin x，
∴f′(x)＝ex(sin x＋cos x)
＝exsin，
由f′(x)≤0，得sin≤0，
∴2kπ＋π≤x＋≤2kπ＋2π(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∵x∈[0，π]，
∴f(x)在上单调递增，
f(x)在上单调递减，
∴x＝为f(x)的极大值点．
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－3,6)
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
7
∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C. D.
解析：选A ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
5．若函数f(x)＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．
解析：f′(x)＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由f′(x)＝0，得x＝0或x＝4.当x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f′(x)＜0；x∈(0,4)时，f′(x)＞0，∴x＝4时f(x)取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．
解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，
则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得10；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
7
8．已知函数f(x)＝(a∈R，a≠0)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝.
由f′(x)＝0，得x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2, ＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－，
函数f(x)无极大值．
(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.
①当a<0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
极小值
若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1>0，
解得a>－e2，所以此时－e20时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
＋
0
－
F(x)
极大值
当x>2时，F(x)＝＋1>1，
当x<2时，令F(x)＝＋1<0，
即a(x－1)＋ex<0，
由于a(x－1)＋ex
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