高中数学第8章函数应用课时分层作业43用二分法求方程的近似解含解析苏教版必修第一册 5页

课时分层作业(四十三)　用二分法求方程的近似解 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)‎ A．x1 B．x‎2 C．x3 D．x4‎ C　[由题图知，x3附近两边的函数值都是负值，故用二分法不能求出零点x3．]‎ ‎2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是(　　)‎ A．y＝3x2－2x－5 B．y＝ C．y＝＋1 D．y＝x2＋4x＋8‎ D　[分别作出函数A～D的图象(略)知，D符合题意．]‎ ‎3．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分x次后，所得近似值可精确到0．1．则x＝(　　)‎ A．3 B．‎4 ‎‎ C．5 D．6‎ C　[由＜0．1，得2n－1＞10，所以n－1≥4，即n≥5．]‎ ‎4．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中 ‎①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；‎ ‎②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；‎ ‎③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；‎ ‎④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．‎ 其中不正确的个数为(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ D　[①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，①错误；②中函数f(x)不一定连续，且无法判断是否有f(a)·f(b)<0，②错误；③中方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，③错误；④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，④也错误．]‎ ‎5．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是(　　)‎ - 5 -‎ A．函数f(x)在区间内一定有零点 B．函数f(x)在区间或内一定有零点 C．函数f(x)在内无零点 D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是 D　[由已知及二分法求函数零点的原理，可知，‎ f(0)·f<0，又的中点为，‎ ‎∴下一步可能f(0)·f<0，‎ 或f·f<0或f＝0，故D正确．]‎ 二、填空题 ‎6．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：‎ x ‎1.25‎ ‎1.312 5‎ ‎1.375‎ ‎1.437 5‎ ‎1.5‎ ‎1.562 5‎ f(x)‎ ‎－0.871 6‎ ‎－0.578 8‎ ‎－0.281 3‎ ‎0.210 1‎ ‎0.328 43‎ ‎0.641 15‎ 则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取________.‎ ‎1.4　[由题表知f(1.375)·f(1.437 5)<0，且1.437 5和1.375精确到0.1均为1.4，所以方程的一个近似解可取为1.4.]‎ ‎7．在10枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．‎ ‎3　[先分2组，每组5枚，用天平称出质量较轻的一组，再把5枚分成一组2枚，另一组也2枚，把两组放入托盘中，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那2枚硬币里面，然后用天平称出轻的一枚即可，故最多称3次即可．]‎ ‎8．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：‎ x ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎6‎ m ‎－4‎ ‎－6‎ ‎－6‎ ‎－4‎ n ‎6‎ 可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是________．‎ ‎(－3，－1)和(2,4)　[由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x＝，a>0．由f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0，可得f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(－3，－1)和(2,4)．]‎ - 5 -‎ 三、解答题 ‎9．确定函数f(x)＝logx＋x－4的零点所在的区间．‎ ‎[解]　设y1＝logx，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图：‎ 由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，‎ 当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，所以f(4)＜0，‎ 当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，所以f(8)＝1＞0，‎ 所以在(4,8)内两曲线又有一个交点．‎ 故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．‎ ‎10．利用计算器，求方程x2－6x＋7＝0的近似解．(精确到0．1)‎ ‎[解]　设f(x)＝x2－6x＋7，通过观察函数的图象(略)得：‎ f(1)＝2＞0，f(2)＝－1＜0，∴方程x2－6x＋7＝0有一根在(1,2)内，设为x1，‎ ‎∵f(1．5)＝0．25＞0，∴1．5＜x1＜2，‎ 又∵f＝f(1．75)＝－0．437 5＜0，∴1．5＜x1＜1．75，如此继续下去，得：‎ f(1)·f(2)＜0⇒x1∈(1,2)，f(1．5)·f(2)＜0⇒x1∈(1．5,2)，‎ f(1．5)·f(1．75)<0⇒x1∈(1．5,1．75)，‎ f(1．5)·f(1．625)＜0⇒x1∈(1．5,1．625)，‎ f(1．562 5)·f(1．625)<0⇒x1∈(1．562 5,1．625)．‎ 因为1．562 5,1．625精确到0．1的近似值都为1．6，所以方程x2－6x＋7＝0的一个近似解为1．6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4．4．‎ ‎1．已知函数f(x)＝loga x＋x－b(a>0，且a≠1)．当23，∴－b<－3，∴2－b<－1，‎ ‎∴loga 2＋2－b<0，即f(2)<0．‎ ‎∵1<<，30，∴f(3)>0，‎ 即f(2)·f(3)<0．‎ 由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2．]‎ ‎2．已知曲线y＝与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是________．‎ 　[设f(x)＝－x，则f(0)＝1＞0，‎ f＝－＝－＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝－2＜0，显然有f(0)·f＜0．所以f(x)的零点所在区间为，即x0的取值范围是．]‎ ‎3．已知y＝x(x－1)·(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)·(x＋1)＋0．01，则方程式f(x)＝0‎ ‎①有三个实根；‎ ‎②当x<－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；‎ ‎③当－11时，恰有一实根．‎ 正确的有________．(填序号)‎ ‎①②　[∵f(－2)＝－2×(－3)×(－1)＋0．01＝－5．99<0，f(－1)＝0．01>0，即f(－2)·f(－1)<0，‎ ‎∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象(略)可知，方程在(－∞，－1)上，恰有一个实根．‎ ‎∴②正确．‎ 又∵f(0)＝0．01>0，结合图象可知f(x)＝0在(－1,0)上没有实数根，∴③不正确．‎ - 5 -‎ 又∵f(0．5)＝0．5×(－0．5)×1．5＋0．01＝－0．365<0，f(1)＝0．01>0，即f(0．5)·f(1)<0，所以f(x)＝0在(0．5,1)上必有一实根，且f(0)·f(0．5)<0，‎ ‎∴f(x)＝0在(0,0．5)上也有一个实根．‎ ‎∴f(x)＝0在(0,1)上有两个实根，④不正确．‎ 由f(1)>0结合图象知，f(x)＝0在(1，＋∞)上没有实根．∴⑤不正确，并且由此可知①正确．]‎ ‎4．某电视台曾有一档娱乐节目：主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价1 000元，主持人说高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看，猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想．你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？‎ ‎[解]　取价格区间[500,1 000]的中点750．‎ 如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875，‎ 否则取另一个区间(500,750)的中点．‎ 若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程中猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．‎ - 5 -‎