北师版高中数学必修一第10讲：对数与对数运算（学生版） 6页

1 对数与对数运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系； 2、 掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题. 一、对数的定义 一般地，如果  1,0  aaa 的b 次幂等于 N , 就是 Nab  ，那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的 对数，记作 bNa log ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数。 特别提醒： 1、对数记号 loga N 只有在 0 1a a 且 ， 0N  时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。 2、记忆两个关系式：① log 1 0a  ；② log 1a a  。 3、常用对数：我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数。为了简便, N 的常用对数 N10log ， 简记作： lg N 。 例如： 10log 5简记作 lg5 ; 5.3log10 简记作 lg3.5。 4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数 e 为底的对数，以 e 为底的对数叫自然对数。为 了简便， N 的自然对数 Nelog ，简记作： ln N 。 如： 3log e 简记作 ln 3 ； 10loge 简记作 ln10 。 二、对数运算性质： 如果 0, 1, 0, 0,a a M N n R    有： log ( ) log log a a aMN M N  log log log a a a M M NN   log log ( ) n a aM n M n R  特别提醒： 1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成 立。如  2log ( 3)( 5)  是存在的，但  2 2 2log ( 3)( 5) log ( 3) log ( 5)      是不成立的。 2、注意上述公式的逆向运用：如 lg5 lg2 lg10 1   ； 2 三、对数的换底公式及推论： 对数换底公式：  loglog 0, 1, 0, 1, 0log m a m NN a a m m Na      两个常用的推论: （1） 1loglog  ab ba （2） 1logloglog  acb cba 四、两个常用的恒等式： Na Na log ， log logm n aa nb bm   0, 1, 0, 0a a b N   类型一 指数式与对数式的相互转化 例 1：将下列指数式与对数式进行互化． (1)3x＝ 1 27 ； (2) 1 4 x＝64； (3)5－ 1 2 ＝ 1 5 ； (4)log 24＝4； (5)lg0.001＝－3; (6)log 2－1( 2＋1)＝－1. 练习 1：将下列指数式与对数式进行互化． (1)e0＝1； (2)(2＋ 3)－1＝2－ 3； (3)log327＝3； (4)log0.10.001＝3. 练习 2：将下列对数式与指数式进行互化． (1)2－4＝ 1 16 ；(2)53＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5. 类型二 对数基本性质的应用 例 2：求下列各式中 x 的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lgx)＝1； 练习 1：已知 log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求 x＋y 的值． 练习 2：(2014～2015 学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知 4a＝2，lgx＝a，则 x ＝______. 3 类型三 对数的运算法则 例 3：计算(1)loga2＋loga 1 2 (a>0 且 a≠1)； (2)log318－log32； (3)2log510＋log50.25； 练习 1：(2014～2015 学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)计算 log535＋2log2 2－ log5 1 50 －log514 的值． 练习 2：(2014～2015 学年度山西太原市高一上学期期中测试)计算：2log510＋log50.25 的值为 ________． 类型四 带有附加条件的对数式的运算 例 4：lg2＝a，lg3＝b，试用 a、b 表示 lg108，lg18 25 . 练习 1：已知 lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求 lg 45. 练习 2：若 lgx－lgy＝a，则 lg(x 2 )3－lg(y 2 )3 等于( ) A．a 2 B．a C．3a 2 D．3a 类型五 应用换底公式求值 例 5: 计算：lg1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log89·log278. 练习 1: 计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． 练习 2: log89·log32 的值为( ) A．2 3 B．1 C．3 2 D．2 类型六 应用换底公式化简 例 6: 已知 log89＝a，log25＝b，用 a、b 表示 lg3. 练习 1: (2014～2015 学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)已知 log23＝a，log37＝b，则 log1456＝( ) A．ab＋3 ab＋1 B．a b＋3 ab＋1 C． b＋3 ab＋1 D．ab－3 ab＋1 4 练习 2: 已知 log72＝p，log75＝q，则 lg5 用 p、q 表示为( ) A．pq B． q p＋q C．1＋pq p＋q D． pq 1＋pq 1、使对数 loga(－2a＋1)有意义的 a 的取值范围为( ) A．0＜a＜1 2 且 a≠1 B．0＜a＜1 2 C．a＞0 且 a≠1 D．a＜1 2 2、(2014～2015 学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知 x、y 为正实数，则下列各式正 确的是( ) A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy C．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy 3、(2014～2015 学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)若 lg2＝a，lg3＝b，则lg12 lg15 等于( ) A． 2a＋b 1－a＋b B． 2a＋b 1＋a＋b C． a＋2b 1－a＋b D． a＋2b 1＋a＋b 4、．log52·log425 等于( ) A．－1 B．1 2 C．1 D．2 5、化简 log1 ab－loga 1 b 的值为( ) A．0 B．1 C．2logab D．－2logab _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 基础巩固 5 1．已知 log7[log3(log2x)]＝0，那么 x－1 2 等于( ) A．1 3 B． 1 2 3 C． 1 2 2 D． 1 3 3 2．若 f(10x)＝x，则 f(3)的值为( ) A．log310 B．lg3 C．103 D．310 3．如果 lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么( ) A．x＝a＋3b－c B．x＝3ab 5c C．x＝ab3 c5 D．x＝a＋b3－c3 4．方程 2log3x＝1 4 的解是( ) A． 3 3 B． 3 C．1 9 D．9 5．eln3－e－ln2 等于( ) A．1 B．2 C．5 2 D．3 能力提升 6．若 log(1－x)(1＋x)2＝1，则 x＝________. 7．若 logx(2＋ 3)＝－1，则 x＝________. 8．已知 log32＝a，则 2log36＋log30.5＝________. 9. (1)设 loga2＝m，loga3＝n，求 a2m＋n 的值； (2)设 x＝log23，求22x＋2－2x＋2 2x＋2－x 的值． 10. 已知 logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)． (1)若设 x＝at，试用 a、t 表示 y； (2)若当 0＜t≤2 时，y 有最小值 8，求 a 和 x 的值． 6