高考数学专题复习（精选精讲）练习3-等差、等比数列习题精选精讲 12页

等差数列及等比数列的“遗传”与“变异”‎ ‎１．遗传 若数列是公差为的等差数列，则由此构造出的以下数列是等差数列．如：‎ （１） 去掉前面几项后余下项组成的仍为公差为的等差数列．‎ ‎（２）所有的奇数项组成的是公差为的等差数列；‎ ‎　　　所有的偶数项组成的是公差为的等差数列；‎ 形如（其中是常数，且）的数列都是等差数列．‎ 由此可得到的一般性结论是：凡是项的序号成等差数列（公差为）的项依次组成的数列一定是等差数列，公差为．‎ ‎（３）数列（其中是任一个常数）是公差为的等差数列．‎ （４） 数列（其中是任一个常数）是公差为的等差数列．‎ ‎（５）数列（其中是常数，且）是公差为的等差数列．‎ ‎（６）若是公差为等差数列，且为常数，则数列一定是公差为的等差数列．‎ ‎（７）等差数列中，任意连续项的和是它前面连续项的和与它后面连续项的和的等差中项，也就是说这些连续项的和也构成一个等差数列．‎ 若是公比为的等比数列，则由此构造出的以下数列是等比数列．如：‎ （１） 去掉前面几项后余下项组成的仍是公比为的等比数列．‎ ‎（２）项的序号成等差数列（公差为）的项依次取出并组成的数列一定是等比数列，公比为．‎ ‎（３）数列是公比为的等比数列．‎ ‎（４）数列（是任一常数且）是等比数列，公比仍为．‎ ‎（５）（是常数，且）是公比为的等比数列．‎ 特殊地：若数列是正项等比数列时，且是任一个实常数，则数列是公比为的等比数列．‎ （６） ‎（其中是常数，且）是公比为的等比数列．‎ ‎（７）若是公比为的等比数列，，则是公比为的等比数列．‎ ‎（８）等比数列中，若任意连续项的和不为，则任意连续项的和是它前面连续项的和与它后面连续项的和的等比中项，也就是说这些连续项的和也构成一个等比数列．‎ ‎２．变异 ‎　　若数列，均为不是常数列的等差数列时，则有：‎ （１） 当数列中的项不同号时，则数列一定不是等差数列．‎ （２） 数列不是等差数列 （３） ‎（是常数，且，，）不是等差数列．‎ （４） 数列不是等差数列．‎ ‎　　若数列为不是常数列的等比数列时，则有：‎ （１） 数列（其中是任一个不为０的常数，）不是等比数列．‎ （２） 数列不一定是等比数列．如时，则，所以不是等比数列．‎ （３） 数列不一定是等比数列．‎ ‎３．突变 （１） 若数列是公差为的等差数列，则（其中是正常数）一定是公比为的等比数列．‎ （１） 若是公比为的正项等比数列，则（其中是不等于１的正常数）是公差为的等差数列．‎ 数列易错题分析 例题选讲 ‎1、不能正确地运用通项与前n项和之间的关系解题：‎ 例1、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：（1）Sn＝5n2＋3n；（2）Sn＝－2； ‎ ‎【错解】由公式an=sn－sn－1得：（1）an=10n－2; （2）‎ ‎【分析】应该先求出a1，再利用公式an=sn－sn－1求解.‎ ‎【正解】（1）an=10n－2; （2）‎ ‎2、忽视等比数列的前n项和公式的使用条件：‎ 例2、求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n) .‎ ‎【错解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋an) －(1＋2＋3＋…＋n)=.‎ ‎【分析】利用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值不能为1.‎ ‎【正解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋an) －(1＋2＋3＋…＋n)‎ 当a=1时，S =；当时，S=‎ 3、 忽视公比的符号 例3、已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比．‎ ‎【错解】四个数成等比数列，可设其分别为则有，解得或，故原数列的公比为或 ‎【分析】按上述设法，等比数列的公比是，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件。‎ ‎【正解】设四个数分别为则，‎ 由时，可得 当时，可得 变式、等比数列中，若，，则的值 （A）是3或－3 （B） 是3 （C） 是－3 （D）不存在 ‎【错解】 是等比数列， ，，成等比，＝9，‎ 选A ‎【分析】，，是中的奇数项，这三项要同号。错解中忽视这一点。‎ ‎【正解】C ‎4、缺乏整体求解的意识 例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求 ‎【错解】设该数列有项且首项为，末项为，公差为 ‎ 则依题意有 ，三个方程，四个未知数，觉得无法求解。‎ ‎【分析】 在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想。错解中依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，没有将作为一个整体，不能解决问题。事实上，本题求 ‎，而没有要求其他的量，只要巧用等差中项的性质，，求出即可。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。‎ ‎【正解】设该数列有项且首项为，末项为，公差为则依题意有 ‎ ，可得 ，代入(3)有 ，‎ 从而有， 又所求项恰为该数列的中间项，‎ 例7　(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.‎ 错误解法 ，‎ ‎。‎ 错误分析 在错解中，由，‎ 时，应有。‎ 在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。‎ 正确解法 若，则有但，‎ 即得与题设矛盾，故.‎ 又依题意 Þ ‎ ‎ Þ ,即因为，所以所以解得 ‎ 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。‎ 例题7　已知等比数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎ (Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，证明am，am＋2，am＋1成等差数列；‎ ‎ (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.‎ ‎ 证 (Ⅰ) ∵Sm＋1＝Sm＋am＋1，Sm＋2＝Sm＋am＋1＋am＋2．‎ 由已知2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，∴ 2(Sm＋am＋1＋am＋2)＝Sm＋(Sm＋am＋1)，‎ ‎∴am＋2＝－am＋1，即数列{an}的公比q＝－.‎ ‎ ∴am＋1＝－am，am＋2＝am，∴2am＋2＝am＋am＋1，∴am，am＋2，am＋1成等差数列.‎ ‎ (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列.‎ ‎ 设数列{an}的公比为q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．‎ 由题设，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.‎ ‎ 当q＝1时，A≠0，∴Sm， Sm＋2， Sm＋1不成等差数列.逆命题为假.‎ 例题8　已知数列{an}满足a1=1，a2=－13，‎ ‎ （Ⅰ）设的通项公式； （Ⅱ）求n为何值时，最小（不需要求的最小值）‎ 解：（I） ‎ 即数列{bn}的通项公式为 ‎（Ⅱ）若an最小，则 注意n是正整数，解得8≤n≤9∴当n=8或n=9时，an的值相等并最小 例题9　已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0． （Ⅰ)求函数f(x)的表达式；（Ⅱ)设数列{an}满足条件：a1∈(1,2)，an+1=f (an)求证：(a1－ a2)·(a3－1)+(a2－ a3)·(a4－1)+…+(an－ an+1)·(an+2－1)＜1‎ 解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以 x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ‎ 对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，对由f '(1)=0，得b=3，c=0，故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2+3x． ‎ ‎(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)令bn=an－1，0整理得：‎ 即或所以 经检验，上述四个解都是原方程组的解。‎ 二、巧用等差（比）知识解（证）不等式 例3. （第19届莫斯科奥林匹克数学竞赛题）设，且，求证： ‎ 分析：如能联想到无穷递增等比数列的求和公式： 则解法就简洁多了。‎ 证明：因为所以所以 例4. （第25届IMO）设x，y，z为非负实数，且，求证：‎ 证明：由对称性，不妨设因为 所以成等差数列，故可设由得：‎ 所以当且仅当时取“＝”‎ 又 所以原不等式成立。‎ 三、巧用等差（比）数列知识求最值 例5. 已知，求使 成立的z的最大、小值。‎ 解：因为所以成等差数列所以可设代入<2>得：‎ 整理得：‎ 所以即：所以当，当时，‎ 四、巧用等差（比）数列知识解有关应用问题 例6. 从n个数中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等。‎ 证明：因为时，对任意成立。‎ 不妨设剩下的数中最大的数在第一部分中，则第一部分各数之和第二部分之和，得证。‎ 例7. 桌面上有个杯子，杯子口全部向上，按如下规则对杯子进行操作：第一次任意翻动其中1个杯子，第2次任意翻动其中2个杯子，……，第n次任意翻动其中的n（n＜p）个杯子，每次操作都是把杯口的方向由原来的向上（或向下）改为向下（或向上），求证：翻动100次以后杯口向下的杯子必有偶数个。‎ 证明：为了方便，给杯口向上的杯子赋值＋1，杯口向下的杯子赋值，设操作前各杯子的数值之积记为，设n次操作后各杯子的数值之积为，依题意可知：若，则命题必成立。‎ 因为翻动一个杯子，相当于将该杯的数值乘以。‎ 所以 所以，将以上各式相乘，并约去公因式，得：‎ 故命题获证。‎ 数列顽症 迎刃而解 数列是高中数学的重要内容，更是高考的命题重点，但有关知识点却有不少同学掌握得不怎么好，甚至时间长了对数列试题产生恐惧心理，见到与数列有关的试题就觉得心里没底。本文针对一部分同学学习数列时存在的弄不懂、记不住、易出错、用不活等问题，结合近几年来高考试卷中出现过的一些典型数列例题，给出了若干常规处理办法，供同学们参考。‎ 症状一 基本问题耗时太多 ‎【表现】对一些有特殊结构的等差（等比）数列基本题，做不对或能做对但耗时太多。如：在等差数列中，若，是数列前项的和，则等于（ ）A.48B.54C.60D.66参考答案：B ‎【症结】 这类题目往往要求灵活运用等差（等比）数列的性质求解。‎ ‎【突破之道】 熟记有关规律：若是等差数列，，且，则有，特别地， ；又若是等比数列，，且，则有。‎ 例1 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）‎ A.2B‎.3C.4D.5‎ ‎【解析】 灵活应用等差数列的性质解题，由得而，，代入上式化简得，易验证当时，取整数，所以选D。‎ 症状二 迁移运用能力不强 ‎【表现】 对教材中的内容形式稍加变化的试题不知如何做。如：在数列中（是常数，），且成公比不为1的等比数列，（1）求的值，（2）求的通项.‎ 参考答案：（1）=2 （2）‎ ‎【症结】 对教材中讨论过的一些基本方法（如叠加法、叠乘法、逆向相加法、错位相减法）等未能实现灵活的迁移、运用。‎ 例2 已知数列满足，，试求数列的的通项.‎ ‎【解析】 由题意有，，，，‎ 把上面个式子用叠加法相加得 症状三 递推关系题入手难 ‎【表现】对形如“已知，且，求通项”的数列问题不知该如何求解 ‎【症结】 对高考试题中的一些典型数列问题（如差等比数列）缺乏系统的求解方法 ‎【突破之道】 差等比数列是高考数列问题的典型。一阶差等比数列问题解题的关键是找到一个适当常数，为等比数列，如何找到常数呢？若常数满足，，其中为常数，且（因为的情形很简单，可直接求通项，此处从略）。存在常数，使为等比数列，其中的参数由特征方程给出，从而，可将新问题转化为一个比较简单的问题。‎ 例3 已知数列满足，，求数列的通项.‎ 解析 若能注意到，于是可视数列是以首项，公比为的等比数列，于是利用等比数列的通项公式得，即.‎ 症状四 缺乏与的辩证思考 ‎【表现】 对以或型给出的递推关系试题不知如何下手，如：设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项。（1）写出数列的前3项；（2）求数列 的通项公式（写出推理过程）；（3）令，求 参考答案：略 ‎【症结】 对适用于任意数列的重要关系式未掌握和灵活运用之。‎ ‎【突破之道】 对于任意数列有（适用于任意数列的重要关系式），这表明构成了一个新的数列，它的通项表示相应数列的前项和，它的第一项表示数列的第一项，当时，数列相邻项的差，这就是数列与其和数列之间的辩证关系。另外，某些特殊数列可以通过适当的变化（如裂项相消）以后求和。‎ 例4 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，，（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前项和，求证：，.‎ 解析 （1）令，得 解得 （注意条件，舍去）；若，则由得，两式相减得，，整理即得 ‎，由题意有（），‎ ‎（）于是数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则，（）‎ ‎（2）略。‎ 对于一般数列，若已知条件为，求通项的方法，除了用“尝试——猜想——探求——发现”（最后用数学归纳法严格证明）思维模式外，还有其他的处理方法，由首先推出，解除的大小，接着常有两个思考方向：‎ （1） 当时，，问题转化为与（）的关系问题（前面已求出），求出后，可用，（）求出数列的通项；‎ （2） 利用递推关系作差技巧，由得（），而（），两式相减即得，于是我们就把问题转化为与之间的问题了（一般情况下，转化到这一步问题就比较容易解决了）。‎ ‎ 数列综合应用问题专题 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.‎ 一. 典型例题解析:‎ 例1. 已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式；‎ ‎(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；‎ ‎(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.‎ ‎(1)设f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1.∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.‎ ‎(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：‎ ‎(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：‎ 且t≠0，解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n)‎ ‎(3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1 ‎①‎ ‎②‎ 设{rn}的公比为q，则 ‎ ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］‎ ‎②÷①得q==t+1，代入①得rn=‎ ‎［例2］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；‎ ‎(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？‎ 知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.‎ 技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.‎ 解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］‎ 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.=1600×［()n－1］‎ ‎(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：‎ ‎1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x ‎＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.‎ 二.专题训练 填空题 ‎.在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________.‎ 解析：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,‎ ‎∴P1(2,2),P2(3,4).∴=(3,4)∴‎ ‎ 答案：1‎ ‎.从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－)升，第二次有纯酒精a(1－)－，即a(1－)‎2升，故第n次有纯酒精a(1－)n升. 答案：a(1－)n ‎.据‎2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.‎ 解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 答案：120000‎ 三、解答题 ‎.据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？‎ ‎(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？‎ 解：设an表示第n年的废旧物资回收量，Sn表示前n年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.‎ ‎(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)‎ ‎(2)S6==99.2992≈99.3(万吨)∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)‎ ‎(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，‎ ‎∴从1996年到2001年共节约：≈3 平方公里.‎ 设二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．‎ ‎(1)试用表示a；‎ ‎11．数列中，且满足()⑴求数列的通项公式；⑵设，求；⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。‎ 解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，‎ 由题意得，.‎ ‎（2）若，‎ 时，‎ 故 ‎（3）‎ 若对任意成立，即对任意成立，‎ 的最小值是，的最大整数值是7。‎ 即存在最大整数使对任意，均有