高考数学专题复习练习：9-2 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2016·沈阳质检)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)‎ A．b＝a3‎ B．b＝a3＋ C．(b－a3)＝0‎ D．|b－a3|＋＝0‎ ‎【解析】 若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝，则b＝a3≠0.若∠B＝，根据垂直关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．‎ ‎【答案】 C ‎2．(2016·湖南衡阳期末)若两条直线ax＋2y＋6＝0与x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a的取值集合是(　　)‎ A．{－1，2}　　　　　　　　　B．{－1}‎ C．{2} D. ‎【解析】 ∵直线ax＋2y＋6＝0与x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，‎ ‎∴解得a＝－1，‎ ‎∴a的取值集合是{－1}．故选B.‎ ‎【答案】 B ‎3．(2017·安徽皖南八校联考)已知倾斜角为θ的直线与直线x－3y＋1＝0垂直，则＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎【解析】 依题意，tan θ＝－3(θ∈[0，π))，‎ 所以＝＝＝，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎4．(2017·安徽皖南八校联考)已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)‎ A．4 B. C. D. ‎【解析】 根据中点坐标公式得解得所以点P的坐标为(4，1)，所以点P(x，y)到原点的距离d＝＝，故选D.‎ ‎【答案】 D ‎5．(2017·广东佛山六校联考)设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)‎ A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0‎ C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0‎ ‎【解析】 因为直线PA的倾斜角为45°，且|PA|＝|PB|，所以直线PB的倾斜角为135°.又当x＝2时，y＝3，即P(2，3)，所以直线PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎6．(2016·山东济南一中月考)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．‎ ‎【解析】 由题意得＝≠，∴a＝－4，c≠－2.∴6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.由两平行直线间的距离公式，得＝，解得c＝2或－6，∴＝±1.‎ ‎【答案】 ±1‎ ‎7．(2017·忻州训练)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________．‎ ‎【解析】 由题意得.‎ 解得或经检验，两种情况均符合题意，‎ ‎∴a＋b的值为0或.‎ ‎【答案】 0或 ‎8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．‎ ‎【解析】 由题意可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是，‎ 解得，故m＋n＝.‎ ‎【答案】 ‎9．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．‎ ‎【解析】 依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，‎ ‎∴lAC为2x＋y－11＝0，‎ 联立lAC、lCM得 ‎∴C(4，3)．‎ 设B(x0，y0)，AB的中点M为，‎ 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，‎ ‎∴ ‎∴B(－1，－3)，∴kBC＝，‎ ‎∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，‎ 即6x－5y－9＝0.‎ ‎10．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．‎ ‎(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．‎ ‎【解析】 (1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，‎ 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，‎ ‎∵点A(5，0)到l的距离为3，‎ ‎∴＝3，‎ 即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝，‎ ‎∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.‎ ‎(2)由 解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)．‎ ‎∴dmax＝PA＝＝.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2017·北京二十四中模拟)已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是(　　)‎ A．(－2，－1) B．(2，3)‎ C．(2，1) D．(－2，1)‎ ‎【解析】 ∵点N在直线x－y＋1＝0上，∴可设点N坐标为(x0，x0＋1)．‎ 根据经过两点的直线的斜率公式，得kMN＝＝.‎ ‎∵直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，直线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，‎ ‎∴kMN×＝－1，即＝2，解得x0＝2.因此点N的坐标是(2，3)，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎12．(2017·上海虹口区期末质量监测)已知l1，l2是分别经过A(2，1)，B(0，2)两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是________．‎ ‎【解析】 由平面几何知识，得当l1⊥AB时，l1，l2之间的距离最大．‎ ‎∵A(2，1)，B(0，2)，∴kAB＝－，∴kl1＝2，∴直线l1的方程是y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.‎ ‎【答案】 2x－y－3＝0‎ ‎13．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．‎ ‎【解析】 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，‎ 所以解得a＝1，b＝0.‎ 又反射光线经过点N(2，6)，‎ 所以所求直线的方程为＝，‎ 即6x－y－6＝0.‎ ‎【答案】 6x－y－6＝0‎ ‎14．已知直线l：y＝x－1，‎ ‎(1)求点P(3，4)关于l对称的点Q；‎ ‎(2)求l关于点(2，3)对称的直线方程．‎ ‎【解析】 (1)设Q(x0，y0)，由于PQ⊥l，且PQ中点在l上，‎ 有解得 ‎∴Q.‎ ‎(2)在l上任取一点，如M(0，－1)，则M关于点(2，3)对称的点为N(4，7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，‎ ‎∴所求直线过点N且与l平行，‎ ‎∴所求方程为y－7＝(x－4)，‎ 即为x－2y＋10＝0.‎ ‎15．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：‎ ‎①点P在第一象限；‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．‎ ‎【解析】 (1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，‎ 所以＝，即＝，‎ 又a＞0，解得a＝3.‎ ‎(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．‎ 若P点满足条件②，则P点在与l1，‎ l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，‎ 且＝，‎ 即c＝或，‎ 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；‎ 若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，‎ 有＝，‎ 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，‎ 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；‎ 由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．‎ 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，‎ 解得(舍去)‎ 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，‎ 解得 所以存在点P同时满足三个条件．‎