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- 2021-06-10 发布
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A组 专项基础训练
(时间:30分钟)
1.(2017·长沙长郡中学月考)若的展开式中的所有二项式系数之和为512,则该展开式中常数项为( )
A.-84 B.84
C.-36 D.36
【解析】 由二项式系数之和为2n=512,得n=9.又Tr+1=(-1)rCx18-3r,令18-3r=0,得r=6,故常数项为T7=84.故选B.
【答案】 B
2.(2017·天津一中月考)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是( )
A.30 B.20
C.15 D.10
【解析】 由题意可知x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数即为(1+x)6的展开式中的x2项的系数,(1+x)6的展开式中的x2项为Cx2,所以含x3项的系数为C=15.
【答案】 C
3.(2017·吉林省实验模拟)的展开式中的常数项为( )
A.80 B.-80
C.40 D.-40
【解析】 ∵Tr+1=C(x2)5-r=(-2)rC·x10-5r,由10-5r=0,得r=2,∴T3=(-2)2C=40.
【答案】 C
【答案】 B
5.(2017·沈阳质监)“a=1”是“(1+ax)6的展开式的各项系数之和为64”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
6.若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1+a2+a3+a4=________.
【解析】 令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=1,令x=0,可得a0=1,所以a1+a2+a3+a4=0.
【答案】 0
【答案】 35
8.(2017·云南玉溪一中月考)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=________.
【解析】 因为(1+ax)(1+x)5的展开式中,含x2的项为Cx2+aCx2=(C+aC)x2,所以C+aC=5,解得a=-1.
【答案】 -1
9.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=________.
【解析】 令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=36,令x=-1,得a0-a1+a2-…+a12=
1,∴a0+a2+a4+…+a12=.令x=0,得a0=1,∴a2+a4+…+a12=-1=364.
【答案】 364
B组 专项能力提升
(时间:30分钟)
【答案】 -56
【答案】 10
【答案】 -15
14.求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.
【证明】 ∵1+2+22+…+25n-1=
=25n-1=32n-1=(31+1)n-1
=C×31n+C×31n-1+…+C×31+C-1
=31(C×31n-1+C×31n-2+…+C),
显然C×31n-1+C×31n-2+…+C为整数,
∴原式能被31整除.
15.若展开式中前三项的系数成等差数列,求:
(1)展开式中所有x的有理项;
(2)展开式中系数最大的项.
【解析】 易求得展开式前三项的系数为1,C,C.
据题意得2×C=1+C⇒n=8.
(1)设展开式中的有理项为Tk+1,
由Tk+1=C()8-k=Cx,
∴k为4的倍数,又0≤k≤8,∴k=0,4,8.
故有理项为T1=Cx=x4,
T5=Cx=x,
T9=Cx=.
(2)设展开式中Tk+1项的系数最大,则:
C≥C且C≥C⇒k=2或k=3.
故展开式中系数最大的项为
T3=Cx=7x,
T4=Cx=7x.
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