四川省宜宾市2020届高三第二次诊断测试数学（理）试题 Word版含解析 27页

www.ks5u.com 宜宾市普通高中2017级高三第二次诊断测试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1.设是虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法运算可求得结果.‎ ‎【详解】由复数的乘法法则得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，利用交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】，，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人心抗击疫情.下图表示月日至月 - 27 -‎ 日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（ ）‎ A. 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势 B. 随着全国医疗救治力度逐渐加大，月下旬单日治愈人数超过确诊人数 C. 月日至月日新增确诊人数波动最大 D. 我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在月日左右达到峰值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新增确诊曲线的走势可判断A选项的正误；根据新增确诊曲线与新增治愈曲线的位置关系可判断B选项的正误；根据月日至月日新增确诊曲线的走势可判断C选项的正误；根据新增确诊人数的变化可判断D选项的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】对于A选项，由图象可知，月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，A选项正确；‎ 对于B选项，由图象可知，随着全国医疗救治力度逐渐加大，月下旬单日治愈人数超过确诊人数，B选项正确；‎ 对于C选项，由图象可知，月日至月日新增确诊人数波动最大，C选项正确；‎ 对于D选项，在月日及以前，我国新型冠状病毒肺炎新增确诊人数大于新增治愈人数，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数不在月日左右达到峰值，D选项错误.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查统计图表的应用，考查数据处理能力，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.‎ ‎【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，‎ 因此，该双曲线的离心率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.世纪产生了著名的“”猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输入正整数的值为，则输出的的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 27 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出循环的每一步，可得出输出的的值.‎ ‎【详解】，输入，，不成立，是偶数成立，则；‎ ‎，不成立，是偶数成立，则；‎ ‎，不成立，是偶数成立，则；‎ ‎，不成立，是偶数不成立，则；‎ ‎，不成立，是偶数成立，则；‎ ‎，不成立，是偶数成立，则；‎ ‎，不成立，是偶数成立，则；‎ ‎，不成立，是偶数成立，则；‎ ‎，成立，跳出循环，输出的值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.在中，内角的平分线交边于点，，，，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，进而求出，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.‎ ‎【详解】为的角平分线，则.‎ ‎，则，‎ ‎，‎ - 27 -‎ 在中，由正弦定理得，即，①‎ 在中，由正弦定理得，即，②‎ ‎①②得，解得，，‎ 由余弦定理得，，‎ 因此，的面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7.的展开式中的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.‎ 点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.‎ ‎8.定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（ ）‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可.‎ ‎【详解】若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意；‎ 若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意.‎ 对函数求导得，由得，‎ 由图象可知，满足不等式的的取值范围是，‎ - 27 -‎ 因此，函数的单调递减区间为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎9.某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可.‎ ‎【详解】在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，‎ - 27 -‎ 矩形中位于曲线上方区域的面积为，‎ 矩形的面积为，‎ 由几何概型的概率公式得，所以，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10.若函数满足，且，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由推导出，且，将所求代数式变形为，利用基本不等式求得的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.‎ ‎【详解】函数满足，，即，‎ ‎，，，即，‎ ‎，则，‎ 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.‎ ‎，‎ 由于函数在区间上为增函数，‎ - 27 -‎ 所以，当时，取得最小值.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得出圆关于直线的对称圆的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出，即可得解.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 设点关于直线对称点为点，‎ - 27 -‎ 则，整理得，解得，即点，‎ 所以，圆关于直线的对称圆的方程为，‎ 设点，则，‎ 当时，取最小值，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.‎ ‎【详解】，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，所以，函数的图象关于直线对称.‎ 若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.‎ 所以，，即，解得或.‎ ‎①当时，令，得 - 27 -‎ ‎，作出函数与函数的图象如下图所示：‎ 此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；‎ ‎②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.‎ 综上所述，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：由题意可知： .‎ ‎14.已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则__________.‎ - 27 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，进而可求得和的值，利用等比数列求和公式可求得的值.‎ ‎【详解】由等比数列的性质可得，，‎ 由于与的等差中项为，则，则，，‎ ‎，，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15.在中，已知，，是边的垂直平分线上的一点，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，设点为线段的中点，可得出且，进而可计算出的值.‎ ‎【详解】设点为线段的中点，则，，‎ - 27 -‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16.如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接、、（如图②）.在折起的过程中，则下列表述：‎ ‎ ‎ ‎①平面；‎ ‎②四点、、、可能共面；‎ ‎③若，则平面平面；‎ ‎④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.‎ - 27 -‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】对于命题①，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：‎ 则且，四边形是矩形，且，为的中点，‎ 为的中点，且，且，‎ 四边形为平行四边形，，即，‎ 平面，平面，平面，命题①正确；‎ 对于命题②，，平面，平面，平面，‎ 若四点、、、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，‎ 则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾.‎ 所以，命题②错误；‎ 对于命题③，连接、，设，则，‎ - 27 -‎ 在中，，，则为等腰直角三角形，‎ 且，，，且，‎ 由余弦定理得，，‎ ‎，又，，平面，‎ 平面，，‎ ‎，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，‎ 平面，平面平面，命题③正确；‎ 对于命题④，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，‎ 平面平面，平面平面，，平面，‎ 平面，‎ 平面，，‎ ‎，，，，，‎ 又，平面，平面，‎ ‎，平面，平面，.‎ ‎，，显然与不垂直，命题④错误.‎ 故答案为：①③.‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照、、、、分组，绘成频率分布直方图如图：‎ ‎（1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数；‎ - 27 -‎ ‎（2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）所抽取的人中得分落在组和内的人数分别为人、人；（2）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将分别乘以区间、对应的矩形面积可得出结果；‎ ‎（2）由题可知，随机变量的可能取值为、、，利用超几何分布概率公式计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出随机变量的数学期望值.‎ ‎【详解】（1）由题意知，所抽取的人中得分落在组的人数有（人），得分落在组的人数有（人）.‎ 因此，所抽取的人中得分落在组的人数有人，得分落在组的人数有人；‎ ‎（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，‎ ‎，，，‎ 所以，随机变量的分布列为：‎ 所以，随机变量的期望为.‎ ‎【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数，同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ - 27 -‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，，利用可求得数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式；‎ ‎（2）求得，利用裂项相消法求得，进而可得出结论.‎ ‎【详解】（1）令，，‎ 当时，；‎ 当时，，则，故；‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎19.将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点.‎ - 27 -‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；‎ ‎（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，进而可求得其正弦值.‎ ‎【详解】（1）取中点，连接、、，‎ 且，四边形为平行四边形，且，‎ ‎、分别为、中点，且，‎ 则四边形为平行四边形，且，‎ 且，且，‎ 所以，四边形为平行四边形，且，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 平面，平面，平面；‎ - 27 -‎ ‎（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，取，则，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，取，则，，，‎ ‎，，‎ 因此，二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ - 27 -‎ ‎20.已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，计算出的值，可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式，代入直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.‎ ‎【详解】（1）在中，，，，‎ ‎，，，，‎ 因此，椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）由题不妨设，设点，‎ 联立，消去化简得，‎ 且，，‎ ‎，，，‎ - 27 -‎ ‎∴代入，化简得，‎ 化简得，‎ ‎，，，‎ 直线，因此，直线过定点.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）判断函数在区间上的零点的个数；‎ ‎（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；‎ ‎（2）设函数的极大值点和极小值点分别为、，由（1）知，，且满足，，于是得出，由得，利用正切函数的单调性推导出，再利用正弦函数的单调性可得出结论.‎ ‎【详解】（1），，‎ - 27 -‎ ‎，当时，，，，则函数在上单调递增；‎ 当时，，，，则函数在上单调递减；‎ 当时，，，，则函数在上单调递增.‎ ‎，，，，.‎ 所以，函数在与不存在零点，在区间和上各存在一个零点.‎ 综上所述，函数在区间上的零点的个数为；‎ ‎（2），.‎ 由（1）得，在区间与上存在零点，‎ 所以，函数在区间与上各存在一个极值点、，且，，‎ 且满足即，，‎ ‎，‎ - 27 -‎ 又，即，，‎ ‎，，，‎ 由在上单调递增，得，‎ 再由在上单调递减，得 ‎，即.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ ‎22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.‎ ‎（1）求直角坐标方程与点的直角坐标；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程变形为，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出点、的坐标，即可得出线段的中点的坐标；‎ ‎（2）求得，写出直线的参数方程，将直线的参数方程与曲线 - 27 -‎ 的普通方程联立，利用韦达定理求得的值，进而可得出结论.‎ ‎【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，即，‎ 将代入曲线的方程得，‎ 所以，曲线的直角坐标方程为.‎ 将直线的极坐标方程化为普通方程得，‎ 联立，得或，则点、，‎ 因此，线段的中点为；‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），‎ 代入的普通方程得，，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数的解析式表示为分段函数，然后分、、三段求解不等式，综合可得出不等式的解集；‎ ‎（2）求出函数的最大值，由题意得出，解此不等式即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】.‎ ‎（1）当时，由，解得，此时；‎ 当时，由，解得，此时；‎ 当时，由，解得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集；‎ ‎（2）当时，函数单调递增，则；‎ 当时，函数单调递减，则，即；‎ 当时，函数单调递减，则.‎ 综上所述，函数的最大值为，‎ 由题知，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ - 27 -‎ - 27 -‎