云南省普洱市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案 13页

绝密 启封前 普洱市 2020 年高二下学期统一检测试卷 数学(理科) 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效。 第Ⅰ卷 (选择题 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 2{ | 4 3 0}A x x x    ， { | 2 4}B x x   ，则  BA ( ) A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 2.若复数 z 满足 2 4iz i  ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是( ) A． 2,4 B． 2, 4 C． 4, 2 D． 4,2 3.已知椭圆的中心在原点，离心率 2 1e ，且它的一个焦点与抛物线 xy 42  的焦点重合，则此 椭圆方程为( ) A． 134 22  yx B． 168 22  yx C． 12 2 2  yx D． 14 2 2  yx 4. 已知 3(1 )(1 )ax x  的展开式中 3x 的系数为 7 ，则 a  ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 5. 等差数列{ }na 的前 n项和 nS ，若 1 32, 12a S  ，则 6a  ( ) A．14 B．12 C．10 D．8 6. 已知 3tan  ，则 2sin 2 2cos   ( ) A． 4 5 B． 6 5 C． 3 5 D． 7 5 7.设 4.0 4.04 2,8log,8log  cba ，则（ ） A. b c a  B. c b a  C. c a b  D. b a c  8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体 积为（ ） A． 3 20 B． 8 C． 3 22 D． 3 16 9. 我国部分省的新高考实行 3+1+2 模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学科必考； “1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、 思想政治、地理 4 个科目中选择两科.今年某校高一的学生小明和小强正准备进行选科，假如首选 科目都是历史，对于再选科目，他们选择每个科目的可能性均等，且他俩的选择互不影响，则他们 的选科至少有一科不相同的概率为( ) A． 1 6 B． 1 2 C． 5 6 D． 3 4 10.若双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab x a y 的渐近线和圆 2 2 4 3 0x y x    相切，则该双曲线的离心 率为( ) A. 2 3 3 B. 4 3 C. 2 D. 2 11. 已知函数 xaxxf ln)(  ，若 0)( xf 对一切 ),0( x 恒成立，则 a的取值范围是（ ） A. ),0(  B． ),1[  e C． ),1[  D． ),[ e 第 8 题图 12.已知函数   3 2 1, 0 3 1, 0 x xf x x x x         ，函数    ln 1 , 1 2, 1 x m xg x x x          ，若方程    f x g x 恰 好有 4 个实数根，则实数 m 的取值范围是( ) A． 3ln 2, 2      B．  ln 2,4 C． ln3,2 D．  ln3 1,1 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若 yx, 满足约束条件       05 032 052 x yx yx ,则 yxz  的最大值为__________． 14.已知向量 ,   a b 的夹角为 60 ， )3,1(  a ， 1  b ，则   ba 2 ． 15.给出下列命题： ①函数   π4cos 2 3f x x     的一个对称中心为 5π ,012     ； ②若命题 2: R, 1 0p x x x    “ ”，则命题 p 的否定为：“ 2, 1 0x R x x     ”； ③设随机变量 ),(~ pnB ，且 1)(,2)(   DE ，则 ( 1)p    4 1 ； ④函数 sin 2y x 的图象向左平移 π 4 个单位长度，得到 πsin 2 4y x     的图象. 其中正确命题的序号是_____________（把你认为正确的序号都填上）. 16.在菱形 ABCD中， 3A  ， 34AB ，将 ABD 沿 BD 折起到 PBD 的位置，若二面角 CBDP  的大小为 2 3  ，三棱锥 BCDP  的外接球球心为O ，则三棱锥 BCDP  的外接球的 表面积为 . 三、解答题：（本题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.（本题满分 10 分) 已知 ABC△ 内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 2a  ， 5b  ， π 4B  . （I）求 c ； （II）若点 D 在 AB 上，且 ADC 的面积为1，求 CD 的长。 18.（本题满分 12 分) 等比数列{ }na 中， 1 1a  ， 5 34a a ． (Ⅰ)求{ }na 的通项公式； (Ⅱ)若 0na  ，设 123222 logloglog  nn aaab ，求数列 1{ } nb 的前 n 项和． 19.（本题满分 12 分) 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1CC  平面 ABC ， D ， E ， F 分别为 1AA ， AC ， 1 1AC 的 中 点， 5AB BC  ， 1 2AC AA  ． (Ⅰ)求证： AC ⊥平面 BEF ； (Ⅱ)求二面角 1B CD C  的正弦值. 20.（本题满分 12 分) 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取 100 个网箱，测 量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下： （Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； 箱产量  50kg 箱产量 50kg 合 计 旧养殖法 新养殖法 合 计 （Ⅱ）在新养殖法养殖的网箱中，按照分层抽样的方法从箱产量少于 50kg 和不少于 50kg 的网箱中 随机抽取 5 箱，再从中抽取 3 箱进行研究，这 3 箱中产量不少于 50kg 的网箱数为 X ，求 X 的分 布列和数学期望. 附： 2( )P K k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 21.（本题满分 12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1x yE a b   （ 0a b  ）的离心率为 2 2 ，点 21, 2P       在椭圆 E 上，直线l 过椭圆 的右焦点 F 且与椭圆相交于 ,A B 两点. （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）在 x 轴上是否存在定点 M ，使得   MBMA 为定值？若存在，求出定点 M 的坐标，若不存在， 说明理由. 22.（本题满分 12 分) 设函数 1( ) ln 1 xf x a x x    ，其中 a为常数． （Ⅰ）若 1a ，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数 ( )f x 的单调性． 普洱市 2020 年高二下学期统一检测试卷 理科数学答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B B A A C C D B D 二．填空题 13. 9 14. 2 3 15. ①③ 16.112 三、解答题 17.解：(1)依题意， 25 2 2 2 cos45c c       2 2 3 0c c    ，得到 3c  (2) 1 1 2 3sin 45 3 22 2 2 2ABCS BA BD           1 2BCDS  ，则 1 1sin 452 2BCDS BD BC        ，即 22 12BD    1BD  ，则 2 1 2 2 1 2 cos45 1CD       1CD  18.（本题满分 12 分) 等比数列{ }na 中， 1 1a  ， 5 34a a ． (Ⅰ)求{ }na 的通项公式； (Ⅱ)若 0na  ，设 123222 logloglog  nn aaab ，求数列 1{ } nb 的前 n 项和． 解：(1)依题意， 4 2 1 14a q a q ，则 2 4q  ， 2q   若 2q   ，则 1( 2)n na   ；若 2q  ，则 12n na  . (2)因为 0na  ，则 12n na  ， 所以， ( 1)1 2 2n n nb n     ，得 1 2 ( 1)nb n n   数列 1{ } nb 的前 n 项和 1 1 12( )1 2 2 3 ( 1)nT n n       1 1 1 1 1 1 12( ) 2(1 )1 2 2 3 1 1nT n n n           2 1n nT n    19.解：（1）依题意，得下表： 箱产量  50kg 箱产量≥50kg 合 计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 40 60 100 合 计 102 98 200 2 2 200(62 60 38 40) 9.68 6.635102 98 100 100K         ，即 2( 6.635) 0.010P K   所以，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （2）按照分层抽样的方法从箱产量少于 50kg 和不少于 50kg 的网箱中随机抽取 5 箱,分别为 2 箱 和 3 箱，从中再抽 3 箱，则 1,2,3X  则 2 1 2 3 3 5 3( 1) 10 C CP X C    ， 1 2 2 3 3 5 6( 2) 10 C CP X C    ， 0 3 2 3 3 5 1( 3) 10 C CP X C    ， X 的分布列为 X 1 2 3 P 3 10 6 10 1 10 所以， 3 6 11 2 3 1.810 10 10EX        20.解：(1)依题意， AB BC ， E 为中点，所以， AC BE ， 又因为 1CC  平面 ABC ， 1AC CC  ，而 1 / /CC EF 又 AC EF ，又 EF BE E  所以， AC ⊥平面 BEF . (2)由(1)的证明知，以 E 为原点，如图，建立空间直角坐标系，则 1( 1,0,2)C  ， ( 1,0,0)C  ， (0,2,0)B ， (1,0,1)D {2,0,1}CD    ， {1,2,0}CB   , 1 {0,0,2}CC   设平面 BCD 和平面 1CDC 的法向量为 1n  和 2n  ，夹角为 . 则 1 { 2,1,4}n CD CB        2 1 {0, 4,0}n CD CC        1 1 1 1 4 21cos 2121 4 n n n n            ， 2 105sin 21   所以，二面角 1B CD C  的正弦值为 2 105 21 . 21.解：依题意，设 2 , ,( 0)a t c t t   ，则 2 2b t ，故设方程为 2 2 2 22 1x y t t   2 2 1 1 2 12t t    ，所以， 2 1t  ，所以，方程 2 2 2 1x y  ，则右焦点为 (1,0)F (2)设点 ( ,0)M t ，直线l 的方程为 1x my  ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 由 2 2 1 2 2 x my x y      得 2 2( 1) 2 2my y   ，即 2 2( 2) 2 1 0m y my    所以， 1 2 2 2 2 my y m     ， 1 2 2 1 2y y m     . 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( ) 1 12 2 2 m m mx x my my m y y m y y m m m                  2 1 2 1 2 2 2 2 4( ) 2 22 2 mx x m y y m m          1 1 2 2( , ), ( , ),MA x t y MB x t y       所以， 1 2 2 1( )( )MA MB x t x t y y         2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4( )( ) ( ) 2 2 mx t x t x x t x x t t tm m             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 ( 2 1) 4 2 2 2 2 m m t tMA MB t tm m m m                  2 )2(4)12( 2 1 2 4 2 22 2 222 2 2 22 2          m mttm m t m t m mMBMA 2 )142()2( 2 )2(4)12( 2 222 2 222     m ttmt m mttm 上式要为定值，则 2 1 142 2 2 2    tt t ，则 142)2(2 22  ttt ，得 4 5t ， 当 4 5t 时， 16 722   tMBMA ，此时， )0,4 5(M ，满足题意. 22.解：(1)当 1a  时， 1( ) ln 1 xf x x x    ， (1) 0f  ，则切点为 (1,0) . 2 2 1 ( 1) ( 1) 1 2'( ) ( 1) ( 1) x xf x x x x x        ，则 2 3'(1) 1 4 2k f    所以，曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为3 2 3 0x y   . (2) 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 2'( ) ( 1) ( 1) ( 1) a x x a a x xf x x x x x x x            2 2 (2 2)'( ) ,( 0)( 1) ax a x af x xx x     ①当 0a  ，若 2 2(2 2) 4 8 4 0a a a       ，即 1 2a   时， '( ) 0f x  恒成立. ( )f x 在 (0, ) 上为减函数； 若 2 2(2 2) 4 8 4 0a a a       ，即 1 02 a   时，令 2 (2 2) 0ax a x a    得两根 1 2,x x 则 2 2 (2 2) 8 4 ( 1) 2 1 2 1 2 1 02 a a a a a a ax a a a                ， 2 1 ( 1) 2 1 2 1 2 1 0a a a a ax a a           所以， 1(0, )x x 上， '( ) 0f x  ， ( )f x 为减函数； 1 2( , )x x x 上， '( ) 0f x  ， ( )f x 为增函数； 2( , )x x  上， '( ) 0f x  ， ( )f x 为减函数。 ②当 0a  ， 2 2'( ) 0( 1) xf x x x   ， ( )f x 在 (0, ) 上为增函数。 ③当 0a  时， 2 2(2 2) 4 8 4 0a a a       ， 1 2,x x 均小于 0，在 (0, ) 上， '( ) 0f x  则 ( )f x 在 (0, ) 上为增函数。 综上所述，当 0a  时， ( )f x 在 (0, ) 上为增函数； 当 1 02 a   时，在 ( 1) 2 1(0, )a a a     和 ( 1) 2 1( , )a a a      上为减函数， 在 ( 1) 2 1 ( 1) 2 1( , )a a a a a a         上为增函数； 当 1 2a   时， ( )f x 在 (0, ) 上为减函数.