高中数学第二章2-3-2数学归纳法的应用练习新人教B版选修2-2 6页

湖南省新田县第一中学高中数学 第二章 2.3.2 数学归纳法的应用 练习 新人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．利用数学归纳法证明1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n <1(n∈N*，且 n≥2)时，第二步由 k 到 k＋1 时不等式左端的变化是( )． A．增加了 1 2k＋1 这一项 B．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项 C．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项，同时减少了1 k 这一项 D．以上都不对 2．用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn＋yn 能被 x＋y 整除”的第二步( )． A．假使 n＝2k＋1 时正确，再推 n＝2k＋3 正确 B．假使 n＝2k－1 时正确，再推 n＝2k＋1 正确 C．假使 n＝k 时正确，再推 n＝k＋1 正确 D．假使 n≤k(k≥1)，再推 n＝k＋2 时正确(以上 k∈N*) 3．命题 P(n)满足：若 n＝k(k∈N*)成立，则 n＝k＋1 成立，下面说法正确的是( )． A．P(6)成立则 P(5)成立 B．P(6)成立则 P(4)成立 C．P(4)成立则 P(6)成立 D．对所有正整数 n，P(n)都成立 4．已知 Sn＝ 1 1·3 ＋ 1 3·5 ＋ 1 5·7 ＋…＋ 1 2n－1 2n＋1 ，则 S1＝________，S2＝________， S3＝________，S4＝________，猜想 Sn＝________. 5．已知 1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c 对一切 n∈N*都成立，则 a、b、 c 的值为________． 6．数列{an}中，已知 a1＝2，an＋1＝ an 3an＋1 (n∈N*)，依次计算出 a2，a3，a4 后，归纳、猜测得 出 an 的表达式为________． 7．求证：1＋n 2 ≤1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋1 2n≤1 2 ＋n. 8．数列{an}满足 Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前 4 项后猜想 an，并用数学归纳法证明． 1．利用数学归纳法证明1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n <1(n∈N*，且 n≥2)时，第二步由 k 到 k＋1 时不等式左端的变化是 ( )． A．增加了 1 2k＋1 这一项 B．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项 C．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项，同时减少了1 k 这一项 D．以上都不对 解析 不等式左端共有 n＋1 项，且分母是首项为 n，公差为 1，末项为 2n 的等差数列， 当 n＝k 时，左端为1 k ＋ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k ；当 n＝k＋1 时，左端为 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ，对比两式，可得结论． 答案 C 2．用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn＋yn 能被 x＋y 整除”的第二步是 ( )． A．假使 n＝2k＋1 时正确，再推 n＝2k＋3 正确 B．假使 n＝2k－1 时正确，再推 n＝2k＋1 正确 C．假使 n＝k 时正确，再推 n＝k＋1 正确 D．假使 n≤k(k≥1)，再推 n＝k＋2 时正确(以上 k∈N*) 解析 因为 n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第 k 个正奇数也成立， 本题即假设 n＝2k－1 正确，再推第(k＋1)个正奇数即 n＝2k＋1 正确． 答案 B 3．已知平面内有 n 条直线(n∈N*)，设这 n 条直线最多将平面分割成 f(n)个部分，则 f(n＋ 1)等于 ( )． A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2 解析 要使这 n 条直线将平面所分割成的部分最多，则这 n 条直线中任何两条不平行， 任何三条不共点．因为第 n＋1 条直线被原 n 条直线分成 n＋1 条线段或射线，这 n＋1 条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故 f(n＋1)比 f(n)多了 n＋1 部分． 答案 C 4．已知 Sn＝ 1 1·3 ＋ 1 3·5 ＋ 1 5·7 ＋…＋ 1 2n－1 2n＋1 ，则 S1＝________，S2＝________， S3＝________，S4＝________，猜想 Sn＝________. 解析 分别将 1,2,3,4 代入观察猜想 Sn＝ n 2n＋1 . 答案 1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n＋1 5．用数学归纳法证明“当 n 为正偶数时 xn－yn 能被 x＋y 整除”第一步应验证 n＝________ 时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________． 解析 因为 n 为正偶数，故第一个值 n＝2，第二步假设 n 取第 k 个正偶数成立，即 n＝ 2k，故应假设成 x2k－y2k 能被 x＋y 整除． 答案 2 x2k－y2k 能被 x＋y 整除 6．用数学归纳法证明： 1＋1 22＋1 32＋…＋1 n2＜2－1 n (n≥2)． 证明：(1)当 n＝2 时，1＋1 22＝5 4 ＜2－1 2 ＝3 2 ，命题成立． (2)假设当 n＝k 时命题成立，即 1＋1 22＋1 32＋…＋1 k2＜2－1 k ，当 n＝k＋1 时， 1＋1 22＋1 32＋…＋1 k2＋ 1 k＋1 2＜2－1 k ＋ 1 k＋1 2＜2－1 k ＋ 1 k k＋1 ＝2－1 k ＋1 k － 1 k＋1 ＝2－ 1 k＋1 ，命题成立． 由(1)、(2)知原不等式在 n≥2 时均成立． 综合提高 限时 25 分钟 7．用数学归纳法证明不等式 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n >11 24 (n∈N*)的过程中，由 n＝k 递推到 n＝k ＋1 时，下列说法正确的是 ( )． A．增加了一项 1 2 k＋1 B．增加了两项 1 2k＋1 和 1 2 k＋1 C．增加了 B 中的两项，但又减少了一项 1 k＋1 D．增加了 A 中的一项，但又减少了一项 1 k＋1 解析 当 n＝k 时，不等式左边为 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k ， 当 n＝k＋1 时，不等式左边为 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 . 答案 C 8．命题 P(n)满足：若 n＝k(k∈N*)成立，则 n＝k＋1 成立，下面说法正确的是( )． A．P(6)成立则 P(5)成立 B．P(6)成立则 P(4)成立 C．P(4)成立则 P(6)成立 D．对所有正整数 n，P(n)都成立 解析 由题意知，P(4)成立，则 P(5)成立，若 P(5)成立，则 P(6)成立．所以 P(4)成立， 则 P(6)成立． 答案 C 9．已知 1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c 对一切 n∈N*都成立，则 a、b、 c 的值为________． 解 析 ∵ 等 式 对 一 切 n ∈ N* 均 成 立 ， ∴ n ＝ 1,2,3 时 等 式 成 立 ， 即 ： 1＝3 a－b ＋c， 1＋2×3＝32 2a－b ＋c， 1＋2×3＋3×32＝33 3a－b ＋c， 整理得 3a－3b＋c＝1， 18a－9b＋c＝7， 81a－27b＋c＝34， 解得 a＝1 2 ，b＝c＝1 4 . 答案 a＝1 2 ，b＝c＝1 4 10．数列{an}中，已知 a1＝2，an＋1＝ an 3an＋1 (n∈N*)，依次计算出 a2，a3，a4 后，归纳、猜测 得出 an 的表达式为________． 解析 a1＝2，a2＝2 7 ，a3＝ 2 13 ，a4＝ 2 19 ，猜测 an＝ 2 6n－5 . 答案 an＝ 2 6n－5 11．求证：1＋n 2 ≤1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋1 2n≤1 2 ＋n. 证明 (1)当 n＝1 时，f(1)＝1＋1 2 ，原不等式成立； (2)设 n＝k(k∈N*)时，原不等式成立 即 1＋k 2 ≤1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋1 2k≤1 2 ＋k 成立， 当 n＝k＋1 时， f(k＋1)＝f(k)＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＋…＋ 1 2k＋1 ≥1＋k 2 ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＋…＋ 1 2k＋1 >1＋k 2 ＋ ＝1＋k 2 ＋1 2 ＝1＋k＋1 2 ， f(k＋1)＝f(k)＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＋…＋ 1 2k＋1 ≤1 2 ＋k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ＋…＋ 1 2k＋1 <1 2 ＋k＋ ∴f(k＋1)<1 2 ＋(k＋1)即 n＝k＋1 时，命题成立． 综合(1)、(2)可得：原命题对 n∈N*恒成立． 12．(创新拓展)数列{an}满足 Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前 4 项后猜想 an，并用数学归纳法 证明． 证明 当 n＝1 时，S1＝2－a1，∴a1＝1， n＝2 时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝3 2 ， n＝3 时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝7 4 ， n＝4 时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝15 8 . ∴猜想 an＝2n－1 2n－1 . 用数学归纳法证明：①当 n＝1 时，a1＝1，猜想成立， ②假设 n＝k 时猜想成立，即 ak＝2k－1 2k－1 成立． 那么，当 n＝k＋1 时，Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak＝2 ＋2k－1 2k－1 ＝2k＋1－1 2k－1 ， ∴ak＋1＝2k＋1－1 2k ，即 n＝k＋1 时猜想成立． 由①②可知，对 n∈N*猜想均成立．