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- 2021-06-11 发布
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第八节
曲线与方程
(
含轨迹问题
)
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养测评
【教材
·
知识梳理】
1.
曲线与方程
曲线的方程与方程的曲线需要满足两个关系
:
(1)_________________________________.
(2)___________________________________.
曲线上的点的坐标都是这个方程的解
以方程的解为坐标的点都是曲线上的点
2.
坐标法求动点的轨迹方程的基本步骤
3.
求曲线的轨迹方程的常用方法
(1)
直接法
:
直接利用条件建立
x,y
之间的关系
f(x,y)=0.
也就是
:
建系、设点、列式、代换、化简、证明
,
最后的证明可以省略
,
必要时加以说明
.
(2)
定义法
:
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线
,
再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程
.
(3)
待定系数法
:
已知所求的曲线类型
,
先根据条件设出曲线方程
,
再由条件确定其待定系数
.
(4)
相关点法
:
动点
P(x,y)
依赖于另一动点
Q(x
0
,y
0
)
的变化而变化
,
并且
Q(x
0
,y
0
)
又在某已知曲线上
,
首先用
x,y
表示
x
0
,y
0
,
再将
x
0
,y
0
代入已知曲线得到要求的轨迹方程
.
(5)
交轨法
:
动点
P(x,y)
是两动直线
(
或曲线
)
的交点
,
解决此类问题通常是通过解方程组得到交点
(
含参数
)
的坐标
,
再消去参数求出所求的轨迹方程
.
【知识点辨析】
(
正确的打“
√”,
错误的打“
×”)
(1)
方程
x
2
+xy=x
的曲线是一个点和一条直线
. (
)
(2)
到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是
x
2
=y
2
. (
)
(3)y=kx
与
x= y
表示同一直线
. (
)
(4)
动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的
. (
)
(5)
方程
y=
与
x=y
2
表示同一曲线
. (
)
提示
:
(1)×.
方程
x
2
+xy=x,
即
x(x+y-1)=0,
化简可得
x=0
或
x+y-1=0.
而
x=0
表示直
线
,x+y-1=0
也表示直线
,
故原方程的曲线是两条直线
,
故错误
.
(2)
×
.
由于建系不同
,
可得到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程不同
,
故错误
.
(3)
×
.y=kx
与
x= y
中
k
的取值范围不同
,y=kx
可以表示直线
y=0,
而
x= y
不能
表示该直线
,
故错误
.
(4)×.
前者表示方程
,
后者表示曲线
,
故错误
.
(5)
×
.
方程
y=
表示的曲线是
x=y
2
在第一象限的部分
,
与
x=y
2
表示的曲线不同
,
故错误
.
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1
不能准确将条件坐标化
考点一、典例
2
利用定义判断轨迹形状
,
忽视隐含条件导致增解
考点二、变式
3
不能正确建立相关点的坐标之间的关系
考点三、典例
【教材
·
基础自测】
1.(
选修
2-1P86
例
2
改编
)
到点
F(0,4)
的距离比到直线
y=-5
的距离小
1
的动点
M
的轨迹方程为
(
)
A.y=16x
2
B.y=-16x
2
C.x
2
=16y D.x
2
=-16y
【
解析
】
选
C.
由条件知
:
动点
M
到
F(0,4)
的距离与到直线
y=-4
的距离相等
,
所以点
M
的轨迹是以
F(0,4)
为焦点
,
直线
y=-4
为准线的抛物线
,
其标准方程为
x
2
=16y.
2.(
选修
2-1P86
练习
T3
改编
)
已知
△ABC
的顶点
B(0,0),C(5,0),AB
边上的中线长
|CD|=3,
则顶点
A
的轨迹方程为
________________.
【解析】
设
A(x,y),
则
D ,
所以
|CD|= =3,
化简得
(x-10)
2
+y
2
=36,
由于
A,B,C
三点构成三角形
,
所以
A
不能落在
x
轴上
,
即
y≠0.
答案
:
(x-10)
2
+y
2
=36(y≠0)
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