慕华优策2020届高三第一次联考数学（文）试题 Word版含解析 24页

www.ks5u.com 慕华·优策2019-2020学年高三年级第一次联考 文科数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足（是虚数单位），则（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将表达式变形，结合复数的除法运算及复数模的定义即可求解.‎ ‎【详解】将表达式化简可得，‎ 由复数除法运算化简可得，‎ 则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义及求法，属于基础题..‎ ‎2.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式可得集合A，由集合交集运算即可求解.‎ ‎【详解】集合，集合，‎ 则，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的概念与交集运算，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎3.实数满足，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数函数性质可判断A，根据不等式性质可判断BC，利用分析法，证明D正确.‎ ‎【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误；‎ 对于B，由不等式性质可知当时，所以B错误；‎ 对于C，由不等式性质可知当时，所以C错误；‎ 对于D，因为，则，，欲证，‎ 即，‎ ‎，‎ 即，显然D成立.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式性质与证明及推理的简单应用，属于基础题.‎ ‎4.下列命题正确的是（ ）‎ A. 若“命题为真命题”，则“命题为真命题”‎ B. 命题“，”的否定为“，”‎ C. 存在实数，使得 D. 已知直线与圆没有公共点，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 根据复合命题真假关系可判断A；含全称量词命题的否定，条件不改变；根据辅助角公式，可得的最大值，进而可判断；由直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式即可判断D.‎ ‎【详解】对于A：“命题为真命题”，则至少有一个为真；而“命题为真命题”，则都为真，A错；‎ 对于B：命题“，”的否定“，”，B错；‎ 对于C：，C错；‎ 对于D：圆，圆心到直线的距离，因为直线与圆没有公共点，所以，化简可得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查常用逻辑用语的简单应用，直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.‎ ‎5.已知实数满足，令，则的最小值为（ ）‎ A. 16 B. 32 C. 24 D. 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给不等式组，画出可行域；将目标函数变形为，求得即可求得的最小值.‎ ‎【详解】根据不等式组，画出可行域如下图所示：‎ - 24 -‎ 可得，，，‎ 设，由图可知当经过时取得最小值，‎ 则，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，属于基础题.‎ ‎6.为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：‎ 未发病 发病 合计 未注射疫苗 ‎20‎ ‎60‎ ‎80‎ 注射疫苗 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 合计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎（附：）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ - 24 -‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 则下列说法正确的：（ ）‎ A. 至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”‎ B. 至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”‎ C. 至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”‎ D. “发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给表格及公式，即可计算的观测值，对比临界值表即可作出判断.‎ ‎【详解】根据所给表格数据，结合计算公式可得其观测值为 ‎，‎ 所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题.‎ ‎7.公差不为零的等差数列的前n项和为，若是与的等比中项，且，则=（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列通项公式及所给条件，可得关于和的方程组，进而求得等差数列的通项公式，即可求得的值.‎ ‎【详解】设公差为，依题意，‎ - 24 -‎ 解得，，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项与求和公式的简单应用，属于基础题.‎ ‎8.已知，分别为直角坐标系的轴正上方上单位向量，，，则平行四边形的面积为（ ）‎ A. 25 B. 50 C. 75 D. 100‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量数量积定义可证明，可知行四边形对角线互相垂直，结合平面向量模的求法可得，即可求得平行四边形的面积.‎ ‎【详解】由题意可知，分别为直角坐标系的轴正上方上单位向量，，，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 则平行四边形ABCD对角线垂直，，，‎ 所以面积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的运算与几何意义，平面向量数量积的运算，属于基础题.‎ ‎9.已知椭圆：的左焦点为，若点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的几何性质及点关于直线的对称点可得点坐标，代入椭圆方程即可确定与的关系，进而得离心率.‎ ‎【详解】椭圆：的左焦点为F，‎ 则椭圆焦点，‎ 点关于直线的对称点在椭圆上，则，‎ 因为在椭圆上，代入可得，‎ 则，由可得，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质及简单应用，点关于直线对称点问题，属于基础题.‎ ‎10.一竖立在水平面上圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ）‎ A. 1m B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.‎ ‎【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从爬行一周后回到（记作），作，如下图所示：‎ - 24 -‎ 由最短路径为，即，‎ 由圆的性质可得，即扇形所对的圆心角为，‎ 则圆锥底面圆的周长为，‎ 则底面圆的半径为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.‎ ‎11.阿基米德（公元前287年～公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，他研究了圆锥曲线许多性质，曾利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴之积.若椭圆C的两个焦点为，，P为椭圆上一点，的面积最大值为12，且椭圆离心率为，则椭圆C的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的最大值、离心率及椭圆中关系，可列方程组求得的值，结合题意即可确定椭圆C的面积.‎ ‎【详解】设椭圆长半轴与短半轴分别为，的面积最大值为12，椭圆离心率为，‎ - 24 -‎ 则，解得，，，‎ 由题意可知，‎ 所以椭圆C的面积为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线性质的简单应用，借助古典文化考查理解能力，属于基础题.‎ ‎12.将函数（）的图象向右平移（）个单位后得到奇函数的图象与直线相邻两个交点的距离为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据降幂公式化简函数表达性，根据相邻两个交点的距离可确定周期，即可确定；由平移后函数为奇函数可得的表达性，进而由即可求得的值.‎ ‎【详解】由降幂公式化简可得 ‎，‎ 向右平移个单位后图象与直线相邻两个交点的距离为，即周期为，‎ 所以，‎ 所以平移后的解析式为，‎ 因为向右平移后所得函数为奇函数，则，则，‎ - 24 -‎ 由，可得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数化简、三角函数图象平移变换与性质的综合应用，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数，则________.‎ ‎【答案】2020‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式，先求得，再代入即可求解.‎ ‎【详解】函数，‎ 则，‎ 所以.‎ 故答案为：2020.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数求值，对数函数与指数函数的性质及运算，属于基础题.‎ ‎14.直线的倾斜角为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程可求得，结合齐次式的变形即可求解.‎ ‎【详解】直线的倾斜角为，‎ 则，‎ - 24 -‎ 所以 ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数化简与求值，齐次式形式的求值，属于基础题.‎ ‎15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将表达式借助正弦定理及同角三角函数关系式化简，由正弦和角公式变形，即可求得，进而得角的值.‎ ‎【详解】由题意，‎ 由正弦定理、同角三角函数关系式及正弦和角公式化简可得 ‎，‎ ‎∴，‎ 因为，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考正弦定理在边角转化中的应用，三角函数变换与求值，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，，若在上曲线与没有交点，则实数的取值范围为_______.‎ ‎【答案】‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知在上无实数根，分离参数后构造函数，由导函数判断单调性，从而求得的最小值，即可确定的取值范围.‎ ‎【详解】曲线与在上没有交点，‎ 即在上无实数根，‎ 即，在上无实数根，‎ 令，‎ 则，‎ ‎∴，即在时单调递增，‎ 则，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了导数在证明函数单调性中的应用，由导函数单调性求参数的取值范围，分离参数法的应用，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ - 24 -‎ ‎17.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：‎ 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 ‎8‎ ‎0.16‎ 第2组 ‎▆‎ 第3组 ‎20‎ ‎040‎ 第4组 ‎▆‎ ‎0.08‎ 第5组 ‎2‎ 合计 ‎▆‎ ‎▆‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ ‎（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.‎ ‎（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.‎ ‎【详解】（1）由频率分布表可得 内的频数为,‎ ‎∴‎ ‎∴内的频率为 ‎∴‎ ‎∵内的频率为0.04‎ ‎∴‎ ‎（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,‎ 设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、‎ 从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.‎ 至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.‎ 所以.‎ ‎∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.‎ ‎18.在三棱柱中，侧面为菱形，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，，，且.‎ - 24 -‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由为等腰直角三角形，为中点可得 ‎（2）根据三棱锥体积公式，且由即可由线段关系求得体积.‎ ‎【详解】（1）为等腰直角三角形，为的中点，‎ 所以由等腰三角形三线合一可得 又侧面为菱形，，‎ 所以，‎ 由，可得，，，‎ ‎∴由勾股定理逆定理可得，且，‎ 所以由线面垂直的判定定理可得平面；‎ ‎（2）由（1）知平面，为中点，‎ 到底面的距离为，‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，三棱锥体积公式的求法，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎19.已知各项为正数的数列，前项和为，且，（）.‎ ‎（1）证明：数列为等差数列，并求出数列通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给条件式，变形后由等差数列定义即可证明数列为等差数列，由等差数列通项公式即可求得，再根据即可求得数列通项公式；‎ ‎（2）表示出数列的通项公式，结合裂项求合法即可求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）证明：各项为正数的数列，，‎ 所以，，‎ 即数列为等差数列是首项为1，公差为1的等差数列.‎ 所以，‎ 即，符合，‎ 所以.也符合该通项公式，‎ 故.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的定义及证明，由前n项和求等差数列通项公式的方法，裂项求和法的应用，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎20.已知抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）已知点，若直线交抛物线于另一个点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线定义，结合题意即可求得值；‎ ‎（2）设出直线方程，，联立直线与抛物线方程，表示出，.由平面向量数量积的坐标运算及即可求得斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】（1）根据题意画出几何关系如下图所示， ‎ 抛物线上的点到轴的距离为,‎ 由抛物线定义可得等于到的距离，‎ 所以为抛物线准线方程，，‎ 解得.‎ ‎（2）由（1）知，可设方程为，，，‎ - 24 -‎ 直线交抛物线于另一个点，即直线与抛物线有两个交点，因而存在；‎ 所以，化简可得.‎ 则，.‎ 又，，‎ 由于，‎ ‎∴，‎ 代入，化简可得 ‎，‎ 解得.‎ 所以直线方程为 ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义及性质简单应用，直线与抛物线位置关系的应用，平面向量垂直时的坐标关系及运算，属于基础题.‎ ‎21.已知函数（）.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的极值点个数.‎ ‎【答案】（1）（2）当时，只有一个极大值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点坐标代入函数解析式，求得参数的值，代入导函数即可求得切线的斜率，进而求得切线方程.‎ ‎（2）求得导函数并化简变形，进而讨论、、三种情况，结合函数的单调性即可确定极值情况.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）函数图象过点，‎ 代入可得，‎ ‎∴解得.‎ 代入函数可得，‎ 则，‎ 所以，‎ 由点斜式可得切线方程为.‎ 所以函数在点处的切线方程为.‎ ‎（2）函数（）.‎ 则，，‎ 令，.‎ ‎（ⅰ）当时，代入可得，‎ 令，解得，‎ 当，，所以函数在内单调递增，‎ 当时，，所以函数在时单调递减，‎ 因而只有一个极大值点 ‎（ⅱ）当时，令，‎ 由两根之积为可知方程只有一个正根，‎ 当时，，所以函数单调递增，‎ 当时，，所以函数单调递减，‎ 因而只有一个极大值点 - 24 -‎ ‎（ⅲ）当时，令，有两个正根，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 综上可知，当时，只有一个极大值点；‎ 当时，有一个极大值点和一个极小值点.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，由导函数确定函数的极值情况，含参数的单调性及分类讨论思想的综合应用，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）曲线与曲线有两个公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的普通方程为，；曲线的直角坐标方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据参数方程与普通方程的转化，可消去得的普通方程；根据正弦差角公式展开，结合极坐标与直角坐标的转化公式，代入化简即可.‎ ‎（2）根据两个函数的方程，联立后画出函数图像，结合图像即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1），，‎ - 24 -‎ 化简可得的普通方程为，；‎ ‎.‎ 曲线的直角坐标方程为 ‎（2）由（1）知，曲线与曲线有两个公共点，‎ 即方程在上有两个不同实根，‎ 即与在上有两个不同交点，‎ 的函数图像如下图所示：‎ 结合图形知.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的转化，参数方程与普通方程的转化，数形结合求参数取值范围的应用，属于基础题.‎ ‎23.已知，，.‎ ‎（1）若恒成立，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）.（2）证明见解析.‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据基本不等式，可先求得的最小值，再分类讨论即可去绝对值解不等式.‎ ‎（2）先利用整式乘法公式展开化简，结合基本不等式即可证明不等式成立.‎ ‎【详解】（1），，.‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时取等号，解得.‎ 因为恒成立，‎ 即恒成立，‎ 当时，去绝对值化简可得，解得，即恒成立；‎ 当时，去绝对值化简可得，解得，即；‎ 当时，去绝对值化简可得，解得，即无解；‎ 综上可知，满足的解集为.‎ ‎（2）证明：‎ 因为，代入上式可得 - 24 -‎ 当且仅当时取等号，解得，‎ 即成立.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式在求最值和证明不等式成立中的应用，分类讨论解绝对值不等式，属于基础题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎