高科数学专题复习课件：第十四章 14_1 第1课时坐标系与参数方程 43页

§14.1 　 坐标系与参数方程 第 1 课时　 坐标系 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 设点 P ( x ， y ) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ ： ______________ 的 作用下，点 P ( x ， y ) 对应到点 P ′ ( x ′ ， y ′ ) ，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 . 1. 平面直角坐标系 知识梳理 2. 极坐标系 (1) 极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O ，自点 O 引一条射线 Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 ( 通常取逆时针方向 ) ，这样就建立了一个极坐标系 . 点 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴 . 平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从射线 Ox 到射线 OM 的角度 θ 来刻画 ( 如图所示 ). 这两个数组成的有序数对 ( ρ ， θ ) 称为点 M 的极坐标 . ρ 称为点 M 的 ， θ 称为点 M 的 . 一般认为 ρ ≥ 0. 当极角 θ 的取值范围是 [0,2π) 时，平面上的点 ( 除去极点 ) 就与极坐标 ( ρ ， θ ) ( ρ ≠ 0) 建立一一对应的关系 . 我们设定，极点的极坐标中，极径 ρ ＝ 0 ，极角 θ 可取任意角 . 极径 极角 (2) 极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为 ( x ， y ) ，极坐标为 ( ρ ， θ ). 由图可知下面关系式成立： 这就是极坐标与直角坐标的互化公式 . 3. 常见曲线的极坐标 方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆 ______________ 圆心为 ( r, 0) ，半径为 r 的圆 ________________ 圆心为 ( r ， ) ，半径为 r 的圆 _______________ ρ ＝ r (0 ≤ θ <2π) ρ ＝ 2 r cos θ ( － ≤ θ < ) ρ ＝ 2 r sin θ (0 ≤ θ <π) 过极点，倾斜角为 α 的直线 θ ＝ α ( ρ ∈ R ) 或 θ ＝ π ＋ α ( ρ ∈ R ) 过点 ( a, 0) ，与极轴垂直的 直线 ____________ 过点 ( a ， ) ，与极轴 平行的 直线 ______________ ρ sin θ ＝ a (0< θ <π) 1.(2016· 北京西城区模拟 ) 求在极坐标系中，过点 (2 ， ) 且与极轴平行的直线方程 . 考点自测 解答 ∴ 过点 (0,2) 且与 x 轴平行的直线方程为 y ＝ 2. 即为 ρ sin θ ＝ 2. 解答 3. 在以 O 为极点的极坐标系中，圆 ρ ＝ 4sin θ 和直线 ρ sin θ ＝ a 相交于 A ， B 两点 . 当 △ AOB 是等边三角形时，求 a 的值 . 解答 由 ρ ＝ 4sin θ 可得 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 y ，即 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4. 由 ρ sin θ ＝ a 可得 y ＝ a . 设圆的圆心为 O ′ ， y ＝ a 与 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4 的两 交点 A ， B 与 O 构成等边三角形，如图所示 . 由对称性知 ∠ O ′ OB ＝ 30° ， OD ＝ a . 题型分类　深度剖析 题型一　极坐标与直角坐标的互化 例 1 　 (1) 以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段 y ＝ 1 － x (0 ≤ x ≤ 1) 的极坐标方程 . 解答 ∴ y ＝ 1 － x 化成 极坐标方程为 ρ cos θ ＋ ρ sin θ ＝ 1 ， ∵ 0 ≤ x ≤ 1 ， ∴ 线段在第一象限内 ( 含端点 ) ， (2) 在极坐标系中，曲线 C 1 和 C 2 的方程分别为 ρ sin 2 θ ＝ cos θ 和 ρ sin θ ＝ 1. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线 C 1 和 C 2 交点的直角坐标 . 解答 因为 x ＝ ρ cos θ ， y ＝ ρ sin θ ，由 ρ sin 2 θ ＝ cos θ ，得 ρ 2 sin 2 θ ＝ ρ cos θ ， 所以曲线 C 1 的直角坐标方程为 y 2 ＝ x . 由 ρ sin θ ＝ 1 ，得曲线 C 2 的直角坐标方程为 y ＝ 1. 思维 升华 (1) 极坐标与直角坐标互化的前提条件 ： ① 极点与原点重合； ② 极轴与 x 轴的正半轴重合； ③ 取相同的单位长度 . ( 2) 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式 x ＝ ρ cos θ 及 y ＝ ρ sin θ 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρ cos θ ， ρ sin θ ， ρ 2 的形式，进行整体代换 . 跟踪训练 1 　 (1) 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＝ 0 ，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程 . 解答 将 x 2 ＋ y 2 ＝ ρ 2 ， x ＝ ρ cos θ 代入 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＝ 0 ， 得 ρ 2 － 2 ρ cos θ ＝ 0 ，整理得 ρ ＝ 2cos θ . (2) 求在极坐标系中，圆 ρ ＝ 2cos θ 垂直于极轴的两条切线方程 . 解答 由 ρ ＝ 2cos θ ，得 ρ 2 ＝ 2 ρ cos θ ，化为直角坐标方程为 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＝ 0 ，即 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ，其垂直于 x 轴的两条切线方程为 x ＝ 0 和 x ＝ 2 ， 题型二　求曲线的极坐标方程 例 2 　 将圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C . (1) 写出曲线 C 的方程； 解答 设 ( x 1 ， y 1 ) 为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点 ( x ， y ) ， (2) 设直线 l ： 2 x ＋ y － 2 ＝ 0 与 C 的交点为 P 1 ， P 2 ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P 1 P 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 . 解答 化为极坐标方程，并整理得 2 ρ cos θ － 4 ρ sin θ ＝－ 3 ， 思维 升华 求曲线的极坐标方程的步骤 ： ( 1) 建立适当的极坐标系，设 P ( ρ ， θ ) 是曲线上任意一点 ； ( 2) 由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式 ； ( 3) 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程 . 跟踪训练 2 　 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P ( ) ，圆心为 直线 与 极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程 . 解答 令 θ ＝ 0 ，得 ρ ＝ 1 ， 所以圆 C 的圆心坐标为 (1,0). 如图所示，因为圆 C 经过点 于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ ＝ 2cos θ . 题型三　极坐标方程的应用 例 3 　 (2015· 课标全国 Ⅰ ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1 ： x ＝－ 2 ，圆 C 2 ： ( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1) 求 C 1 ， C 2 的极坐标方程； 解答 因为 x ＝ ρ cos θ ， y ＝ ρ sin θ ， 所以 C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ ＝－ 2 ， C 2 的极坐标方程为 ρ 2 － 2 ρ cos θ － 4 ρ sin θ ＋ 4 ＝ 0. 由于 C 2 的半径为 1 ，所以 △ C 2 MN 为等腰直角三角形， 解答 思维 升华 (1) 已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程 ； ( 2) 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性 . 跟踪训练 3 　 ( 2017· 广州调研 ) 在极坐标系中，求直线 ρ sin( θ ＋ ) ＝ 2 被圆 ρ ＝ 4 截得的弦长 . 解答 课时作业 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 在极坐标系 ( ρ ， θ )(0 ≤ θ ＜ 2π) 中，求曲线 ρ (cos θ ＋ sin θ ) ＝ 1 与 ρ (sin θ － cos θ ) ＝ 1 的交点的极坐标 . 解答 曲线 ρ (cos θ ＋ sin θ ) ＝ 1 化为直角坐标方程为 x ＋ y ＝ 1 ， ρ (sin θ － cos θ ) ＝ 1 化为直角坐标方程为 y － x ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 在极坐标系中，已知圆 ρ ＝ 3cos θ 与直线 2 ρ cos θ ＋ 4 ρ sin θ ＋ a ＝ 0 相切，求实数 a 的值 . 解答 圆 ρ ＝ 3cos θ 的直角坐标方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 3 x ， 直线 2 ρ cos θ ＋ 4 ρ sin θ ＋ a ＝ 0 的直角坐标方程为 2 x ＋ 4 y ＋ a ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立直角坐标系， 则曲线 ρ ＝ 2cos θ 的直角坐标方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ， 且圆心为 (1,0). 因为圆心 (1,0) 关于 y ＝ x 的对称点为 (0,1) ， 所以圆 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 关于 y ＝ x 的对称曲线为 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对曲线 C 1 的极坐标方程进行转化： ∵ ρ ＝ 12sin θ ， ∴ ρ 2 ＝ 12 ρ sin θ ， ∴ x 2 ＋ y 2 － 12 y ＝ 0 ， 即 x 2 ＋ ( y － 6) 2 ＝ 36. 对曲线 C 2 的极坐标方程进行转化： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 OA ＝ 4 ， OB ＝ 5 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 已知 P (5 ， ) ， O 为极点，求使 △ POP ′ 为正三角形的点 P ′ 的坐标 . 解答 设 P ′ 点的极坐标为 ( ρ ， θ ). ∵△ POP ′ 为正三角形，如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 在极坐标系中，判断直线 ρ cos θ － ρ sin θ ＋ 1 ＝ 0 与圆 ρ ＝ 2sin θ 的位置 关系 . 直线 ρ cos θ － ρ sin θ ＋ 1 ＝ 0 可化成 x － y ＋ 1 ＝ 0 ，圆 ρ ＝ 2sin θ 可化为 x 2 ＋ y 2 ＝ 2 y ，即 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1. 解答 故直线与圆相交 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 (1) 将 M 、 N 、 P 三点的极坐标化为直角坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 (2) 判断 M 、 N 、 P 三点是否在一条直线上 . ∴ k MN ＝ k NP ， ∴ M 、 N 、 P 三点在一条直线上 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 写出 C 的直角坐标方程，并求 M 、 N 的极坐标； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当 θ ＝ 0 时， ρ ＝ 2 ，所以 M (2,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 设 MN 的中点为 P ，求直线 OP 的极坐标方程 . 解答 M 点的直角坐标为 (2,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10