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- 2021-06-11 发布
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课时分层作业(九) 定积分的概念
(建议用时:40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.下列结论中成立的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
C [由定积分的概念可知②③正确,①错误,故选C.]
2.关于定积分a= (-2)dx的叙述正确的是( )
A.被积函数为y=2,a=6
B.被积函数为y=-2,a=6
C.被积函数为y=-2,a=-6
D.被积函数为y=2,a=-6
C [由定积分的概念可知,被积函数为y=-2,由定积分的几何意义可知a=-6.故选C.]
3.变速直线运动的物体的速度为v(t)≥0,初始t=0时所在位置为s0,则当t1秒末它所在的位置为( )
B [由位移是速度的定积分,同时不可忽视t=0时物体所在的位置,故当t1秒末它所在的位置为s0+∫t10v(t)dt.]
4.若f(x)dx=1,g(x)dx=-3,则 [2f(x)+g(x)]dx=( )
【导学号:31062085】
A.2 B.-3
C.-1 D.4
C [ [2f(x)+g(x)]dx=2f(x)dx+g(x)dx=2×1-3=-1.]
6
5.若f(x)为偶函数,且f(x)dx=8,则f(x)dx等于( )
A.0 B.4
C.8 D.16
D [∵被积函数f(x)为偶函数,∴在y轴两侧的函数图象对称,从而对应的曲边梯形面积相等.]
二、填空题
6.若 [f(x)+g(x)]dx=3, [f(x)-g(x)]dx=1,则 [2g(x)]dx=________.
[解析] [2g(x)]dx= [(f(x)+g(x))-(f(x)-g(x))]dx= [f(x)+g(x)]dx- [f(x)-g(x)]dx
=3-1=2.
[答案] 2
7.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形面积用定积分可表示为________.
【导学号:31062086】
[解析] 如图所示,阴影部分的面积可
[答案]
8.物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)=2t(t的单位:h,v的单位:km/h),近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时,把区间6等分,则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.
[解析] 以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度,可得过剩近似值为s=(2×3+2×4+2×5+2×6+2×7+2×8)×1=66(km).
[答案] 66
三、解答题
6
9.已知,求下列定积分的值.
(1) (2x+x2)dx;(2) (2x2-x+1)dx.
[解] (1) (2x+x2)dx
=2xdx+x2dx
=2×+=e2+.
(2) (2x2-x+1)dx=
2x2dx-xdx+1dx,
因为已知,
又由定积分的几何意义知:1dx等于直线x=0,x=e,y=0,y=1所围成的图形的面积,
所以1dx=1×e=e,
故 (2x2-x+1)dx
=2×-+e=e3-e2+e.
10.利用定积分的几何意义求下列定积分.
(1) dx;(2) (2x+1)dx;
(3) (x3+3x)dx.
【导学号:31062087】
[解] (1)曲线y=表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示.
其面积为S=·π·32=π.
由定积分的几何意义知dx=π.
6
(2)曲线f(x)=2x+1为一条直线. (2x+1)dx表示直线f(x)=2x+1,x=0,x=3围成的直角梯形OABC的面积,如图②.
其面积为S=(1+7)×3=12.
根据定积分的几何意义知
(2x+1)dx=12.
(3)∵y=x3+3x在区间[-1,1]上为奇函数,图象关于原点对称,
∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等.由定积分的几何意义知 (x3+3x)dx=0.
[能力提升练]
1.已知f(x)=x3-x+sin x,则f(x)dx的值为( )
A.等于0 B.大于0
C.小于0 D.不确定
A [由题意知f(x)为奇函数,由奇函数的性质有
f(x)dx=-f(x)dx,而f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=0.]
2.与定积分|sin x|dx相等的是( )
6
C [当x∈(0,π]时,sin x≥0;
当x∈时,sin x<0.
∴由定积分的性质可得
3.定积分dx的值为________. 【导学号:31062088】
[解析] 因为y=,
所以(x-1)2+y2=1,它表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆.定积分dx就是该圆的面积的四分之一,所以定积分dx=.
[答案]
4.汽车以v=(3t+2)m/s做变速直线运动时,第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________m.
[解析] 由题意知,所求路程为直线x=1,x=2,y=0与y=3x+2所围成的直角梯形的面积,故s=×(5+8)×1=6.5(m).
[答案] 6.5
5.如图155所示,抛物线y=x2将圆x2+y2≤8分成两部分,现在向圆上均匀投点,这些点落在圆中阴影部分的概率为+,
求.
【导学号:31062089】
6
图155
[解] 解方程组
得x=±2.
∴阴影部分的面积为
.
∵圆的面积为8π,
∴由几何概型可得阴影部分的面积是
8π·=2π+.
由定积分的几何意义得,
=π+.
6
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