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- 2021-06-11 发布
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学业分层测评(七)
(建议用时:45 分钟)
[达标必做]
一、选择题
1.(2016·郑州高一检测)给出下列说法:
①梯形的四个顶点共面;
②三条平行直线共面;
③有三个公共点的两个平面重合;
④三条直线两两相交,可以确定 3 个平面.
其中正确的序号是( )
A.① B.①④ C.②③ D.③④
【解析】 因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以
①是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,
所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相
交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可
以确定的平面个数是 1 或 3,所以④不正确.
【答案】 A
2.已知α,β为平面,A,B,M,N 为点,a 为直线,下列推理错
误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且 A,B,M 不共线⇒α,β重合
【解析】 选项 C 中,α与β有公共点 A,则它们有过点 A 的一条
交线,而不是点 A,故 C 错.
【答案】 C
3.(2016·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面( )
【导学号:09960046】
A.只有一个 B.可作两个
C.可作无数多个 D.只有一个或有无数多个
【解析】 若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则
可以作出无数多个平面,选 D.
【答案】 D
4.空间四点 A、B、C、D 共面而不共线,那么这四点中( )
A.必有三点共线
B.必有三点不共线
C.至少有三点共线
D.不可能有三点共线
【解析】 如图(1)(2)所示,A、C、D 均不正确,只有 B 正确,如
图(1)中 A、B、D 不共线.
(1) (2)
【答案】 B
5.如图 217,平面α∩平面β=l,A、B∈α,C∈β,C∉l,直线
AB∩l=D,过 A、B、C 三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过
( )
图 217
A.点 A B.点 B
C.点 C,但不过点 D D.点 C 和点 D
【解析】 根据公理判定点 C 和点 D 既在平面β内又在平面γ内,
故在β与γ的交线上.故选 D.
【答案】 D
二、填空题
6.如图 218,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,试根据图形填空:
图 218
(1)平面 AB1∩平面 A1C1=________;
(2)平面 A1C1CA∩平面 AC=________;
(3)平面 A1C1CA∩平面 D1B1BD=________;
(4)平面 A1C1,平面 B1C,平面 AB1 的公共点为________.
【答案】 (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
7.空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那
么这三条直线能确定的平面个数是________.
【解析】 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,
①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线 AB,A1B1 与 AA1 可以确定
一个平面(平面 ABB1A1).
②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,
直线 AB,AA1 与 A1D1 可以确定两个平面(平面 ABB1A1 和平面
ADD1A1).
③三条直线 AB,AD,AA1 交于一点 A,它们可以确定三个平面(平
面 ABCD,平面 ABB1A1 和平面 ADD1A1).
【答案】 1 或 2 或 3
三、解答题
8.如图 219 所示,在空间四边形各边 AD,AB,BC,CD 上分
别取 E,F,G,H 四点,如果 EF,GH 交于一点 P,求证:点 P 在直
线 BD 上.
【导学号:09960047】
图 219
【证明】 ∵EF∩GH=P,
∴P∈EF 且 P∈GH.
又∵EF⊂平面 ABD,GH⊂平面 CBD,
∴P∈平面 ABD,且 P∈平面 CBD,
∴P∈平面 ABD∩平面 CBD,
∵平面 ABD∩平面 CBD=BD,由公理 3 可得 P∈BD.
∴点 P 在直线 BD 上.
9.求证:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
【解】 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:直线 l1,l2,l3 在同一平面内.
证明:法一 ∵l1∩l2=A,
∴l1 和 l2 确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴B∈l2.
又∵l2⊂α,∴B∈α.
同理可证 C∈α.
又∵B∈l3,C∈l3,
∴l3⊂α.
∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内.
法二 ∵l1∩l2=A,
∴l1、l2 确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,
∴l2、l3 确定一个平面β.
∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.
∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.
同理可证 B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面α内,又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线 l1、l2、l3 在同一平面内.
[自我挑战]
10.下列说法中正确的是( )
A.空间不同的三点确定一个平面
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面
C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
【解析】
经过同一直线上的三点有无数个平面,故选项 A 不正确;当两两
相交的三条直线相交于一点时,可能确定三个平面,故选项 B 不正确;
有 三 个 角 为 直 角 的 四 边 形 不 一 定 是 平 面 图 形 , 如 在 正 方 体
ABCDA1B1C1D1 中,四边形 ACC1D1 中∠ACC1=∠CC1D1=∠C1D1A=
90°,但四边形 ACC1D1 不是平面图形,故选项 C 不正确;和同一直线
相交的三条平行直线一定共面,故选 D.
【答案】 D
11.在正方体 AC1 中,E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD
=P,A1C1∩EF=Q,如图 2110.
(1)求证:D、B、E、F 四点共面;
(2)作出直线 A1C 与平面 BDEF 的交点 R 的位置.
图 2110
【导学号:09960048】
【解】
(1)证明:由于 CC1 和 BF 在同一个平面内且不平行,故必相交.设
交点为 O,则 OC1=C1C.同理直线 DE 与 CC1 也相交,设交点为 O′,
则 O′C1=C1C,故 O′与 O 重合.由此可证得 DE∩BF=O,故 D、
B、F、E 四点共面(设为α).
(2)由于 AA1∥CC1,
所以 A1、A、C、C1 四点共面(设为β).
P∈BD,而 BD⊂α,故 P∈α.
又 P∈AC,而 AC⊂β,所以 P∈β,所以 P∈α∩β.
同理可证得 Q∈α∩β,从而有α∩β=PQ.
又因为 A1C⊂β,
所以 A1C 与平面α的交点就是 A1C 与 PQ 的交点.
连接 A1C,则 A1C 与 PQ 的交点 R 就是所求的交点.
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