2015年数学理高考课件8-3 圆的方程 35页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．　 2. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 第三节　圆的方程 圆的定义及方程 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ． 方程 Ax 2 ＋ Bxy ＋ Cy 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 (1) B ＝ 0 ； (2) A ＝ C ≠ 0 ； (3) D 2 ＋ E 2 － 4 AF >0. 2 ．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2) 圆心在任一弦的中垂线上． (3) 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 答案： B 答案： B 3 ． (2014 年合肥模拟 ) 圆心在 y 轴上，半径为 1 ，且过点 (1,2) 的圆的方程为 ( 　　 ) A ． x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 B ． x 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 1 C ． ( x － 1) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 D ． x 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 解析： 解法一　 ∵ 圆心在 y 轴上，可排除 C. 又过点 (1,2) ，代入验证知，选 A. 解法二　 设圆心坐标为 (0 ， b ) ，则圆的标准方程为 x 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ 1. 代入点 (1,2) 得， b ＝ 2. 故圆的方程为 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1. 答案： A 点与圆的位置关系 点 A ( x 0 ， y 0 ) 与圆 C ： ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r >0) 的位置关系： (1) 几何法 ① | AC |< r ⇔ 点 A 在圆内； ② | AC | ＝ r ⇔ 点 A 在圆上； ③ | AC |> r ⇔ 点 A 在圆外． (2) 代数法 ① ⇔ 点 A 在圆内； ② ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＝ r 2 ⇔ 点 A 在圆上； ③ ⇔ 点 A 在圆外． ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 < r 2 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 > r 2 4 ． (2014 年厦门模拟 ) 若点 (1,1) 在圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y ＋ a ) 2 ＝ 4 的内部，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 解析： 依题意，知， (1 － a ) 2 ＋ (1 ＋ a ) 2 <4. 解得，－ 1< a <1. 答案： ( － 1,1) 求圆的方程 【 例 1】 　根据下列条件求圆的方程： (1) 经过点 P (1,1) 和坐标原点，并且圆心在直线 2 x ＋ 3 y ＋ 1 ＝ 0 上； (2) 圆心在直线 y ＝－ 4 x 上，且与直线 l ： x ＋ y － 1 ＝ 0 相切于点 P (3 ，－ 2) ； (3) 过三点 A (1,12) ， B (7,10) ， C ( － 9,2) ． 反思总结 求圆的方程的两种方法 (1) 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2) 待定系数法： ① 若已知条件与圆心 ( a ， b ) 和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a ， b ， r 的方程组，从而求出 a ， b ， r 的值； ② 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D ， E ， F 的方程组，进而求出 D ， E ， F 的值． 与圆有关的最值问题 解析： ∵ x 2 ＋ y 2 可看作是圆上的 P ( x ， y ) 与原点距离的平方． 又圆心坐标为 (0,1) ，半径为 1. 故 | PO | min ＝ 0 ， | PO | max ＝ 2. ∴ x 2 ＋ y 2 的最大值为 4. 最小值为 0. 答案： C 与圆有关的轨迹问题 【 例 3】 　 (2014 年南京模拟 ) 已知 P (4,0) 是圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 36 内的一点， A ， B 是圆上两动点，且满足 ∠ APB ＝ 90°. (1) 求 AB 中点 R 的轨迹． (2) 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程． 反思总结 求与圆有关的轨迹方程的方法 提醒 　注意轨迹与轨迹方程的区别． —— 与圆有关的问题 圆是基本图形，在高考题中，圆常与不等式、圆锥曲线、函数等知识综合考查，考查轨迹问题，最值问题，圆的方程求解问题等，考查对圆的方程的理解和应用，难度不大，但综合性强． 轨迹问题 【 典例 1】 　点 P (4 ，－ 2) 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上任一点连线的中点轨迹方程是 ( 　　 ) A ． ( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 　　 B ． ( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 4 C ． ( x ＋ 4) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4 D ． ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 [ 答案 ] 　 A 解题模板 　 求解与圆有关的轨迹问题的一般步骤： 第一步：建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为 ( x ， y ) ； 第二步：列式：列出几何等式或找出相关点间的关系式； 第三步：坐标化：用坐标表示所列等式． 第四步：化简：化简所得方程． 第五步：检验：去掉不符合题意的点． 最值问题 【 典例 2】 　 (2014 年绍兴模拟 ) 点 P (1,2) 和圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＋ 2 kx ＋ 2 y ＋ k 2 ＝ 0 的点的距离的最小值是 ________ ． [ 答案 ] 　 2 解题模板 　 第一步：确定点 ( 直线 ) 与圆的关系和圆心，半径． 第二步：求出圆心到定点或定直线的距离 d . 第三步：求出最大值为 d ＋ r ，最小值为 d － r . 1 ．动点 P 到点 A (8,0) 的距离是到点 B (2,0) 的距离的 2 倍，则动点 P 的轨迹方程为 ( 　　 ) A ． x 2 ＋ y 2 ＝ 32 B ． x 2 ＋ y 2 ＝ 16 C ． ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 16 D ． x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 16 答案： B 2 ．已知直线 l ： x － y ＋ 4 ＝ 0 与圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 ，则圆 C 上各点到 l 的距离的最小值为 ________ ． 本小节结束 请按 ESC 键返回