高中数学人教a必修5学业分层测评4角度问题word版含解析 9页

学业分层测评（四） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．从 A 处望 B 处的仰角为α，从 B 处望 A 处的俯角为β，则α，β的关系为 ( ) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 【解析】 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选 B. 【答案】 B 2．在静水中划船的速度是每分钟 40 m，水流的速度是每分钟 20 m，如果船 从岸边 A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向 河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 【解析】 如图所示， sin∠CAB＝20 40 ＝1 2 ，∴∠CAB＝30°. 【答案】 B 3．我舰在敌岛 A 处南偏西 50°的 B 处，且 A、B 距离为 12 海里，发现敌舰 正离开岛沿北偏西 10°的方向以每小时 10 海里的速度航行，若我舰要用 2 小时 追上敌舰，则速度大小为( ) A．28 海里/小时 B．14 海里/小时 C．14 2海里/小时 D．20 海里/小时 【解析】 如图，设我舰在 C 处追上敌舰，速度为 v， 在△ABC 中，AC＝10×2＝20(海里)， AB＝12 海里，∠BAC＝120°， ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784， ∴BC＝28 海里， ∴v＝14 海里/小时． 【答案】 B 4．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点 D 出发，沿角的一边 DA 行走 10 米后，拐弯往另一边的方向行走 14 米正好到达△BDA 的另一边 BD 上的 一点，我们将该点记为点 N，则 N 与 D 之间的距离为( ) A．14 米 B．15 米 C．16 米 D．17 米 【解析】 如图，设 DN＝x m， 则 142＝102＋x2－2×10× xcos 60°， ∴x2－10x－96＝0. ∴(x－16)(x＋6)＝0. ∴x＝16 或 x＝－6(舍)． ∴N 与 D 之间的距离为 16 米． 【答案】 C 二、填空题 5．(2015·湖北高考)如图 1226，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶， 到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝ m. 图 1226 【解析】 由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°， 故∠ACB＝45°. 又 AB＝600 m，故由正弦定理得 600 sin 45° ＝ BC sin 30° ，解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 3 3 ＝100 6(m)． 【答案】 100 6 6．某船在岸边 A 处向正东方向航行 x 海里后到达 B 处，然后朝南偏西 60° 方向航行 3 海里到达 C 处，若 A 处与 C 处的距离为 3海里，则 x 的值为 ． 【解析】 x2＋9－2·x·3cos 30°＝( 3)2， 解得 x＝2 3或 x＝ 3. 【答案】 3或 2 3 7．一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏 东 60°方向，行驶 4 h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15°方向，这时船 与灯塔的距离为 km. 【导学号：05920062】 【解析】 如图所示，依题意有 AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°， ∠AMB＝45°， 在△AMB 中， 由正弦定理得 60 sin 45° ＝ BM sin 30° ， 解得 BM＝30 2(km)． 【答案】 30 2 8．一船自西向东航行，上午 10：00 到达灯塔 P 的南偏西 75°、距塔 68 n mile 的 M 处，下午 14：00 到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行的速度为 n mile/h. 【解析】 如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得 MN sin 120° ＝ PM sin 45° ， ∴MN＝68× 3 2 2 2 ＝34 6. 又由 M 到 N 所用时间为 14－10＝4(h)， ∴船的航行速度 v＝34 6 4 ＝17 2 6(n mile/h)． 【答案】 17 2 6 三、解答题 9．平面内三个力 F1、F2、F3 作用于同一点且处于平衡状态．已知 F1、F2 的大小分别为 1 N、 6＋ 2 2 N，F1 与 F2 的夹角为 45°，求 F3 的大小及 F3 与 F1 的夹角的大小． 【解】 如图，设 F1 与 F2 的合力为 F，则 F3＝－F. ∵∠BOC＝45°， ∴∠ABO＝135°. 在△OBA 中，由余弦定理得 |F|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|cos 135° ＝4＋2 3. ∴|F|＝1＋ 3，即|F3|＝ 3＋1. 又由正弦定理得 sin∠BOA＝|F2|sin∠ABO |F| ＝1 2. ∴∠BOA＝30°. ∴∠BOD＝150°. 故 F3 的大小为( 3＋1)N，F1 与 F3 的夹角为 150°. 10. (2016·焦作模拟)如图 1227，正在海上 A 处执行任务的渔政船甲和在 B 处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔 船丙在渔政船甲的南偏东 40°方向距渔政船甲 70 km 的 C 处，渔政船乙在渔政船 甲的南偏西 20°方向的 B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的 位置 C 处沿直线 AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在 B 处执行任务，渔政船甲航 行 30 km 到达 D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在 B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船 丙)，此时 B、D 两处相距 42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所 在的位置 C 处实施营救． 图 1227 【解】 设∠ABD＝α，在△ABD 中，AD＝30， BD＝42，∠BAD＝60°. 由正弦定理得 AD sin α ＝ BD sin∠BAD ， sin α＝AD BDsin∠BAD＝30 42sin 60°＝5 3 14 ， 又∵AD