高中数学4_1坐标系4_1_2极坐标系同步测控苏教版选修4-41 5页

4.1.2 极坐标系 同步测控 我夯基，我达标 1.点 P 的直角坐标为（- 2 ， 2 ），那么它的极坐标可表示为（ ） A.（2， 4  ） B.（2， 4 3 ） C.（2， 4 5 ） D.（2， 4 7 ） 解析：方法一：因为点 P（- 2 ， 2 ）在第二象限，与原点的距离为 2，且 OP 的倾斜角 为 4 3 ,故选 B.方法二：代入坐标互化公式直接求解. 答案：B 2.极坐标系中，与点（3， 3  ）关于极轴所在直线对称的点的极坐标是（ ） A.（3， 3 2 ） B.（3， 3  ） C.（3， 3 4 ） D.（3， 6 5 ） 解析：关于极轴对称的点，极径ρ不变，极角互为相反数（或再相差 2kπ,k∈Z）. 答案：B 3.将点 P 的极坐标（2， 3 4 ）化为直角坐标是_______________. 解析：因为 x=2cos 3 4 =-1,y=2sin 3 4 =- 3 ,所以直角坐标为（-1，- 3 ）. 答案：（-1，- 3 ） 4.极坐标系中，点 A 的极坐标是（3， 6  ），则 （1）点 A 关于极轴对称的点的极坐标是；_______________ （2）点 A 关于极点对称的点的极坐标是；_______________ （3）点 A 关于直线θ= 2  的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ＞0，θ∈［0， 2π)） 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外， 我们要注意：极角是以 x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的. 关于极轴对称 关于极点对称 关于θ= 2  对称 答案：（1）（3， 6 11 ）（2）（3， 6 7 ）（3）（3， 6 5 ） 5.已知两点的极坐标 A（3， 2  ）、B（3， 6  ），则｜AB｜=_____________，AB 与极轴正方向 所夹的角为_____________. 解析：如图所示，根据极坐标的定义结合等边三角形性质，可得｜AO｜=｜BO｜=3，∠AOB= 3  ， 即△AOB 为正三角形.所以直线 AB 与 x 轴的夹角为 6  ,则 AB 与极轴的正方向所夹的角为 2  + 3  = 6 5 . 答案：3 6 5 6.如图，在极坐标系中，写出点 A，B，C 的极坐标，并标出点 D（2， 6  ），E（4， 4 3 ），F （3.5， 3 5 ）所在的位置. 思路分析：关键是确定点的极径ρ和极角θ. 解：由图可得点 A，B，C 的极坐标分别为（1，0），（4， 2  ），（5， 3 4 ）. 点 D，E，F 的位置如上图所示. 7.中央气象台在 2004 年 7 月 15 日 10:30 发布的一则台风消息：今年第9 号热带风暴“圆规” 的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约 440 千米的南海东北部海面上， 中心附近最大风力有 9 级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置 (ρ≥0,0≤θ＜2π). 思路分析：首先确定极点和极轴,即确定极坐标系，然后标出点的位置表示出坐标. 解：以广东省汕尾市所在地为极点，正东方向为极轴（单位长度为 1 千米）建立极坐标系， 则台风中心所在位置的极坐标为 A（440， 4 7 ）. 我综合，我发展 8.已知点 A（ρ1，θ1）、B（ρ2，θ2）的极坐标满足条件ρ1+ρ2=0 且θ1+θ2=π，则 A、B 的位置关系是_____________. 解析：可以数形结合，由极坐标的意义得出结论；也可以化为直角坐标得出结论.设 B(x2,y2), 则 x2=ρ2cosθ2=-ρ1cos(π-θ1)=ρ1cosθ1,y2=ρ2sinθ2=-ρ1sin(π-θ1)=-ρ1sinθ1,∴A、 B 关于 x 轴对称，即在极坐标系内，A、B 关于极轴对称. 答案：关于极轴对称 9.在极坐标系中，已知两点 A（3， 3  ），B（1， 3 2 ），求 A、B 两点间的距离. 思路分析：数形结合，根据 A，O，B 位置关系直接求解. 解：∵∠AOB= 3 2 -（ 3  ）=π，∴A，O，B 三点共线. ∴A、B 两点间的距离为｜AB｜=3+1=4. 10.已知 A、B 两点的极坐标分别为（1， 3  ）、（2， 3 2 ），求 A、B 两点间的距离. 思路分析：数形结合，由余弦定理求 AB 的长. 解：∵｜OA｜=1，｜OB｜=2，∠AOB= 3 2 - 3  = 3  ， ∴由余弦定理得 ｜AB｜2=12+22-2×1×2cos 3  =3. ∴｜AB｜= 3 ， 即 A、B 两点间的距离为 3 . 11.在极轴上求与点 A（ 24 ， 4  ）距离为 5 的点 M 的坐标. 思路分析：题目要求的点 M 在极轴上，可设点 M（r,0），由于极坐标中有一个量是关于角的， A、M 两点之间的距离为 5，所以可以根据余弦定理求出点 M 的坐标来. 解：设 M（r,0）, ∵A( 24 , 4  )， ∴｜AM｜= 4cos28)24( 22 rr  =5, 即 r2-8r+7=0.解得 r=1 或 r=7. ∴M 点的坐标为（1，0）或（7，0）. 12.如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立极坐标系，并 分别说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来. 解：如下图所示，以 AB 所在直线为极轴，点 A 为极点建立极坐标系. 则教学楼 A（0，0），体育馆 B（60，0），图书馆 C（120， 3  ），实验楼 D（60 3 ， 2  ）， 办公楼 E（50， 4 3 ）. 我创新，我超越 13.在直角坐标系中，以点（x0,y0）为极点，以 x 轴正向为极轴方向建立极坐标系，如图， 写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式（假定长度单位不变）. 思路分析：把直角坐标系内的平移公式转化为极坐标得出结论. 解：由直角坐标的平移公式      , , 0 0 yyy xxx 得      ,sin ,cos 0 0   yy xx 即      ;sin ,cos 0 0   yy xx       .tan ,)()( 0 0 2 0 2 0 2 xx yy yyxx   14.如图,求 A（ρ1，θ1）、B（ρ2，θ2）、C（ρ3，θ3）围成的△ABC 的面积. 思路分析：根据已知条件知 OA、OB、OC 的长及它们的夹角关系，所以可用割补法及面积公 式 S= 2 1 absinθ间按求 S△ABC. 解：S△ABC=S△ABO+S△BCO-S△ACO = 2 1 ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+ 2 1 ρ2ρ3sin(θ3-θ2) - 2 1 ρ1ρ3sin(θ3-θ1)= 2 1 ［ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+ρ2ρ3sin(θ3-θ2)-ρ1ρ3sin(θ3-θ1)］.